Équations différentiels

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
Répondre

Messages : 13

Enregistré le : 26 juil. 2018 17:45

Classe : MPSI

Localisation : Dans la cambrousse

Équations différentiels

Message par VeryDarkus » 08 août 2018 15:59

Bonjour,
J'ai du mal à comprendre pourquoi les solutions d'une equation différentiel du second ordre dont le discriminant de son equation caractéristique est nul ont la formes (a*x+b)*exp(c*x). C'est surtout le a*x+b qui me chiffonne. Je ne vois pas la logique de la démarche pour arriver à ce résultat alors que pour le discriminant posifit et négatif je trouve cela tout à fait logique.
Je précise que je vais rentrer en MPSI, je n'ai peut être pas le bagage nécessaire pour comprendre.
2017/2018 : TS spé Maths
2018/2019 : MPSI Sainte Geneviève
Road to Mines/X (désillusion incoming)

Messages : 1559

Enregistré le : 13 févr. 2018 09:22

Re: Équations différentiels

Message par matmeca_mcf1 » 08 août 2018 16:16

La démarche naturelle est de remplacer l'EDO scalaire d'ordre 2 par une EDO vectorielle d'ordre 1, puis de calculer une exponentielle de matrice.

Il parait que les matrices sont vues en spé maths en terminale maintenant. Par contre, je ne pense pas que les exponentielles de matrices soient au programme. D'ailleurs, sont-elles encore au programme en sup/spé?
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

Messages : 5471

Enregistré le : 04 sept. 2005 19:27

Localisation : Versailles

Re: Équations différentiels

Message par JeanN » 08 août 2018 17:06

VeryDarkus a écrit :
08 août 2018 15:59
Bonjour,
J'ai du mal à comprendre pourquoi les solutions d'une equation différentiel du second ordre dont le discriminant de son equation caractéristique est nul ont la formes (a*x+b)*exp(c*x). C'est surtout le a*x+b qui me chiffonne. Je ne vois pas la logique de la démarche pour arriver à ce résultat alors que pour le discriminant posifit et négatif je trouve cela tout à fait logique.
Je précise que je vais rentrer en MPSI, je n'ai peut être pas le bagage nécessaire pour comprendre.
Ton prof en fera la démonstration en cours. Patiente un peu :)
Professeur de maths MPSI Lycée Sainte-Geneviève

Messages : 6651

Enregistré le : 17 avr. 2012 21:19

Classe : Thé à la

Re: Équations différentiels

Message par bullquies » 08 août 2018 17:47

Bon si l'équation caractéristique a une racine double $ r $ es-tu d'accord pour dire que $ y_1 (x) = exp(-rx) $ est une solution de l'équadiff ? Le souci c'est d'en trouver une deuxième qui ne soit pas linéairement dépendante de celle-là.

Pour ça on fait une petite transformation très utile. On cherche une nouvelle fonction solution $ y_2 (x) = v(x) y_1 (x) $. Le but étant de trouver $ v $.

A toi de calculer $ y_2 ' $ et $ y_2 '' $, d'insérer dans l'équation différentielle et de voir ce que tu trouves pour $ v(x) $- Tu verras que tu passes d'une équation différentielle d'ordre 2 à une équation différentielle d'ordre 1.
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona

Messages : 13

Enregistré le : 26 juil. 2018 17:45

Classe : MPSI

Localisation : Dans la cambrousse

Re: Équations différentiels

Message par VeryDarkus » 08 août 2018 18:07

bullquies a écrit :
08 août 2018 17:47
Bon si l'équation caractéristique a une racine double $ r $ es-tu d'accord pour dire que $ y_1 (x) = exp(-rx) $ est une solution de l'équadiff ? Le souci c'est d'en trouver une deuxième qui ne soit pas linéairement dépendante de celle-là.

Pour ça on fait une petite transformation très utile. On cherche une nouvelle fonction solution $ y_2 (x) = v(x) y_1 (x) $. Le but étant de trouver $ v $.

A toi de calculer $ y_2 ' $ et $ y_2 '' $, d'insérer dans l'équation différentielle et de voir ce que tu trouves pour $ v(x) $- Tu verras que tu passes d'une équation différentielle d'ordre 2 à une équation différentielle d'ordre 1.
Je suis pas sûr de suivre. Comment je pourrais me retrouver passer à une équa diff d'ordre 1 alors que la dérivée seconde de $ y_2 (x) = v(x) y_1 (x) $ aura forcément un v''(x) ?
2017/2018 : TS spé Maths
2018/2019 : MPSI Sainte Geneviève
Road to Mines/X (désillusion incoming)

Messages : 6651

Enregistré le : 17 avr. 2012 21:19

Classe : Thé à la

Re: Équations différentiels

Message par bullquies » 08 août 2018 18:31

c'est une équa diff d'ordre 1 en $ v' $ :) (après il suffit d'intégrer facilement)
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona

Messages : 358

Enregistré le : 04 déc. 2013 16:01

Re: Équations différentiels

Message par jmctiti » 08 août 2018 18:53

Bonjour

Si tu veux, tu peux regarder http://www.les-maths-en-prepas.fr/Cours ... reChapitre

Bonne soirée.

Messages : 104

Enregistré le : 13 févr. 2018 16:41

Classe : MP*

Re: Équations différentiels

Message par noro » 09 août 2018 08:43

VeryDarkus a écrit :
08 août 2018 15:59
Bonjour,
J'ai du mal à comprendre pourquoi les solutions d'une equation différentiel du second ordre dont le discriminant de son equation caractéristique est nul ont la formes (a*x+b)*exp(c*x). C'est surtout le a*x+b qui me chiffonne. Je ne vois pas la logique de la démarche pour arriver à ce résultat alors que pour le discriminant posifit et négatif je trouve cela tout à fait logique.
Je précise que je vais rentrer en MPSI, je n'ai peut être pas le bagage nécessaire pour comprendre.
Je vais essayer de te faire une preuve claire et concise:
Si le polynôme caractéristique est $ P=(X-c)^2=X^2-2cX+c^2 $, l'équation différentielle est $ f''-2cf'+c^2f=0 $.
L'idée est de se ramener au cas c=0 que l'on sait résoudre.
Pour cela on effectue un changement de variable en posant $ y(t)=f(t)exp(-ct) $, i.e. $ f(t)=y(t)exp(ct) $.
L'équation différentielle sur f donne alors $ (y''(t)+2cy'(t)+c^2y(t))exp(ct)-2c(cy(t)+y'(t))exp(ct)+c^2y(t)exp(ct) = 0 $
i.e. $ y''=0 $
CCL: $ f(t)=exp(ct)y(t) $ où y est une fonction affine
Nothing happened.
-------------------------------------------
L3 Maths-Info

Messages : 104

Enregistré le : 13 févr. 2018 16:41

Classe : MP*

Re: Équations différentiels

Message par noro » 09 août 2018 08:45

JeanN a écrit :
08 août 2018 17:06
VeryDarkus a écrit :
08 août 2018 15:59
Bonjour,
J'ai du mal à comprendre pourquoi les solutions d'une equation différentiel du second ordre dont le discriminant de son equation caractéristique est nul ont la formes (a*x+b)*exp(c*x). C'est surtout le a*x+b qui me chiffonne. Je ne vois pas la logique de la démarche pour arriver à ce résultat alors que pour le discriminant posifit et négatif je trouve cela tout à fait logique.
Je précise que je vais rentrer en MPSI, je n'ai peut être pas le bagage nécessaire pour comprendre.
Ton prof en fera la démonstration en cours. Patiente un peu :)
Ah oui en plus il risque peut être d'être dans votre classe...
Nothing happened.
-------------------------------------------
L3 Maths-Info

Messages : 5471

Enregistré le : 04 sept. 2005 19:27

Localisation : Versailles

Re: Équations différentiels

Message par JeanN » 09 août 2018 10:23

1 chance sur 3 :)
Professeur de maths MPSI Lycée Sainte-Geneviève

Répondre