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Produit scalaire canonique

Posté : 10 août 2018 18:25
par ahmedata10
Salut . Pour le produit scalaire canonique de Mn,1(k) , j'ai lu dans la correction une phrase que je n'ai pas pu comprendre : ' La droite D est stable par tA et donc H = D⊥ est stable par A ' .
SI vous pouvez m 'aider je serais ravis .
merci

Re: Produit scalaire canonique

Posté : 10 août 2018 19:21
par JeanN
C'est un petit exercice de le vérifier soit même (plus généralement)
Soit A une matrice carrée réelle de taille n et F un sev de $ \mathbb R^n $ stable par A
Montrer que $ F^{\perp} $ est stable par $ A^T $

Re: Produit scalaire canonique

Posté : 10 août 2018 19:24
par saysws
C'est vrai, et c'est une propriété générale : Si F est stable par une matrice A (resp. un endomorphisme u), alors $ F^\bot $ est stable par sa transposée $ {}^tA $ (res. son adjoint $ u^* $). Pour le montrer simplement (dans le cas matriciel) il suffit de se rappeler que le produit scalaire canonique de $ \mathbb{R}^n $ à le bon goût de s'exprimer simplement en terme de vecteurs et de transposition :
$ \left \langle X,Y \right \rangle ={}^tXY $


D'ailleurs si au lieu de $ \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}) $ tu disais $ \mathbb{R}^n $ comme tout le monde ta question serait plus clair :mrgreen:

Re: Produit scalaire canonique

Posté : 11 août 2018 00:12
par ahmedata10
merci . alors ca n'est vrai que si c'est le produit scalaire canonique ?

Re: Produit scalaire canonique

Posté : 11 août 2018 00:26
par saysws
ahmedata10 a écrit :
11 août 2018 00:12
merci . alors ca n'est vrai que si c'est le produit scalaire canonique ?
Quand on parle de matrices on sous-entend qu'il s'agit du produit scalaire canonique.
Mais les résultats eux marchent avec n'importe quel produit scalaire, mais on utilisera plutôt le point de vue endomorphisme / adjoint alors.
Le point de vue matriciel sert justement à fournir une représentation géométrique lisible, donc si on se compliquait la vie avec un produit scalaire quelconque ça servirait plus à rien :)

Re: Produit scalaire canonique

Posté : 11 août 2018 00:46
par ahmedata10
saysws a écrit :
11 août 2018 00:26
ahmedata10 a écrit :
11 août 2018 00:12
merci . alors ca n'est vrai que si c'est le produit scalaire canonique ?
Quand on parle de matrices on sous-entend qu'il s'agit du produit scalaire canonique.
Mais les résultats eux marchent avec n'importe quel produit scalaire, mais on utilisera plutôt le point de vue endomorphisme / adjoint alors.
Le point de vue matriciel sert justement à fournir une représentation géométrique lisible, donc si on se compliquait la vie avec un produit scalaire quelconque ça servirait plus à rien :)
mais ceux qui posent les ds compliquent la vie :3

Re: Produit scalaire canonique

Posté : 11 août 2018 01:44
par saysws
C'est une convention point. Si on change de produit scalaire beaucoup d'ensembles de matrices usuels perdent leur sens (symétriques, orthogonales etc.).
La transposée d'une matrice est toujours définie de la même manière. Considère un autre produit scalaire et elle ne vérifie plus rien d'intéréssant.

Re: Produit scalaire canonique

Posté : 11 août 2018 09:39
par Syl20
En fait, si tu prends un autre produit scalaire pour $ \mathbb{R}^n $ (notons le $ <.|.> $), il ne s'exprimera plus aussi facilement :
$ <X|Y>=^t XSY $, où $ S $ est la matrice des produits scalaires : $ S=(<e_i|e_j>)_{i,j} $ ($ (e_i)_i $ est la base canonique de$ \mathbb{R}^n $)
Ainsi, la démonstration que tu fais dans le cas du produit scalaire canonique ne marche pas : tu peux essayer, il te manquera l'hypothèse de commutativité de ta matrice $ ^tA $ et de $ S $, qui n'est assurée dans le cas général que si ton produit scalaire est, à une constante multiplicative près, le produit scalaire canonique.

Re: Produit scalaire canonique

Posté : 12 août 2018 03:58
par ahmedata10
Merci