Permutation

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Permutation

Message par GHOST 117 » 23 août 2018 11:54

Bonjour le forum, j'aimerais savoir si une application injective de $ \mathbb {N}^* $ dans $ \mathbb {N}^* $ est une permutation.
Merci d'avance, cordialement.

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Re: Permutation

Message par GHOST 117 » 23 août 2018 12:06

En effet, j'ai un problème avec les questions 2) et 4) de l'exercice suivant:
Soit $ f $ une application injective de $ \mathbb{ N}^* $ dans $ \mathbb{N}^* $. On pose $ u_n=\frac {f(n)}{n^2},\, n>0.\\ $
1) Quelle est la nature de la série de terme general $ u_n $ si l'on suppose en outre que $ f $ est strictement monotone.
2) En étudiant l'ensemble $ \{f(k), \,k\in [\vert n+1,\, 4n\vert]\} $, montrer que :$ \displaystyle{\sum_{k=n+1}^{4n}}\frac{f(k)}{k^2}>(2n)\frac{n}{16n^2}\\ $
3) En déduire que $ \sum u_n $ diverge.
4) Quelle est la nature de la série $ \sum\frac{f(n)}{n^{\alpha}},\, \alpha<2?\\ $

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Re: Permutation

Message par BobbyJoe » 23 août 2018 12:09

Je présume que tu veux dire une permutation de $\mathbb{N}^{*}$ (car une application injective, corestreinte à son image, est toujours une bijection).
Non, ce type de résultat n'est valable que les deux ensembles au départ et à l'arrivée ont même cardinal fini!
Dans ton exemple, il suffit de considérer $\displaystyle \phi : k \mapsto 2k$ qui est bien une injection de $\mathbb{N}^{*}$ à valeurs dans $\mathbb{N}^{*}$ (qui n'est pas une bijection de $\mathbb{N}^{*},$ les impairs n'ont pas d'antécédents!).
Modifié en dernier par BobbyJoe le 23 août 2018 14:45, modifié 1 fois.

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Re: Permutation

Message par BobbyJoe » 23 août 2018 12:15

Pour répondre à la question $2)$ comme $f$ est injective alors $$\sum_{k=n+1}^{2n}f(k)\geq \sum_{k=1}^{n}k \sim \frac{n^{2}}{2}.$$
Mais alors pour $n\gg 1,$ $$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{f(k)}{k^{2}}\geq \frac{1}{4n^{2}}\sum_{k=n+1}^{2n}f(k) \gg 1.$$
Ainsi, la série des $(u_{n})$ diverge car ne satisfait pas la critère de Cauchy (ou si elle convergeait les différence de ses sommes partielles $S_{2n}-S_{n}$ tendrait vers $0$).
Enfin, pour $4),$ procède par comparaison! Qui est le plus grand des deux termes en fonctions de $\alpha<2?$

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Re: Permutation

Message par GHOST 117 » 23 août 2018 13:46

BobbyJoe a écrit :
23 août 2018 12:09
Je présume que tu veux dire une permutation de $\mathbb{N}^{*}$ (car une application injective, corestreinte à son image, est toujours une bijection).
Non, ce type de résultat n'est valable que les deux ensembles au départ et à l'arrivée ont même cardinal!
Dans ton exemple, il suffit de considérer $\displaystyle \phi : k \mapsto 2k$ qui est bien une injection de $\mathbb{N}^{*}$ à valeurs dans $\mathbb{N}^{*}$ (qui n'est pas une bijection de $\mathbb{N}^{*},$ les impairs n'ont pas d'antécédents!).
Merci beaucoup, j'ai bien compris.

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Re: Permutation

Message par GHOST 117 » 23 août 2018 14:05

BobbyJoe a écrit :
23 août 2018 12:15
Pour répondre à la question $2)$ comme $f$ est injective alors $$\sum_{k=n+1}^{2n}f(k)\geq \sum_{k=1}^{n}k \sim \frac{n^{2}}{2}.$$
Mais alors pour $n\gg 1,$ $$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{f(k)}{k^{2}}\geq \frac{1}{4n^{2}}\sum_{k=n+1}^{2n}f(k) \gg 1.$$
Ainsi, la série des $(u_{n})$ diverge car ne satisfait pas la critère de Cauchy (ou si elle convergeait les différence de ses sommes partielles $S_{2n}-S_{n}$ tendrait vers $0$).
Enfin, pour $4),$ procède par comparaison! Qui est le plus grand des deux termes en fonctions de $\alpha<2?$
Merci pour les explications.

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Re: Permutation

Message par BobbyJoe » 23 août 2018 14:44

Le comme $f$ est injective nécessite un brin d'explication, si tu le désires!
Comme $f$ est injective, alors $f$ envoie un ensemble de cardinal $n$ sur un ensemble de même cardinal. En particulier, l'image par $f$ de $\{n+1,\ldots,2n\}$ est un ensemble à $n$ éléments et donc $$\sum_{k=n+1}^{2n}f(k)\geq \sum_{k=1}^{n}k.$$

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Re: Permutation

Message par Syl20 » 23 août 2018 16:19

Pour la question 2), tu peux plus simplement remarquer que $ u_n \geq \frac{1}{n} $ (car $ f(k) \geq k $ qui est un terme positif général de série divergente.
Ensuite, la méthode pour la 4) est exactement la même : tu compares les termes généraux et tu conclus sur le caractère de la série.
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Re: Permutation

Message par BobbyJoe » 23 août 2018 16:42

Justement non, ce n'est pas vrai que pour $k\geq 1$, $f(k)\geq k.$ On peut par exemple penser à construire $f$ comme suit : sur l'ensmble des puissances $4-$ième, $f(n^{4})=n^{2}$ et ailleurs, $f=\phi$ où $\phi$ est une bijection de $\mathbb{N}^{*}\setminus (\mathbb{N}^{*})^{4}$ sur $\mathbb{N}^{*}\setminus (\mathbb{N}^{*})^{2}.$ On peut penser à des sous-permutations plus sauvages si l'envie nous en prend!

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Re: Permutation

Message par Nabuco » 23 août 2018 17:03

Pour obtenir la divergence de la série des Un on peut aussi court-circuiter l argument par une inégalité du reordonnement.

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