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sous suites

Posté : 28 août 2018 03:30
par ahmedata10
Salut . Est-ce que tous suites bornées admet une sous suite convergente dans n'importe quel norme ?
Merci .

Re: sous suites

Posté : 28 août 2018 05:06
par BobbyJoe
Toute suite bornée (de vecteurs, en dimension finie) admet une sous-suite convergente et ceci pour n'importe quelle norme (car toutes les normes sont équivalentes en dimension finie).
En revanche, le résultat devient carrément faux en dimension infinie!
Exemple : Considérons $ $$E=\ell^{2}(\mathbb{N})$ muni de sa norme euclidienne canonique $ \|.\| $. Notons $ $$(e_{n})_{n\geq 0}$ la base canonique de $ $$E$.
On a toujours pour tout $ $$i\neq j,$ $ $$\|e_{i}-e_{j}\|^{2}=2.$ Ceci empêche cette suite d'avoir une sous-suite convergente.

Re: sous suites

Posté : 28 août 2018 18:15
par ahmedata10
BobbyJoe a écrit :
28 août 2018 05:06
Toute suite bornée (de vecteurs, en dimension finie) admet une sous-suite convergente et ceci pour n'importe quelle norme (car toutes les normes sont équivalentes en dimension finie).
En revanche, le résultat devient carrément faux en dimension infinie!
Exemple : Considérons $ $$E=\ell^{2}(\mathbb{N})$ muni de sa norme euclidienne canonique $ \|.\| $. Notons $ $$(e_{n})_{n\geq 0}$ la base canonique de $ $$E$.
On a toujours pour tout $ $$i\neq j,$ $ $$\|e_{i}-e_{j}\|^{2}=2.$ Ceci empêche cette suite d'avoir une sous-suite convergente.
merci