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Coquille dans un DM (?)

Posté : 07 sept. 2018 20:02
par Enoum
Bonjour à tous
Je suis rentré en MPSI cette semaine et j’ai reçu mon premier dm en maths. Seulement une question de logique me paraît fausse
Soit a et b deux réels tel que ∀ε > 0, a < b+ε
Démontrer que a ≤ b
Or si on prend comme exemple a=10, b=5 et ε=7 alors on a bien a < b+ε mais dans ce cas là a ≤ b est faux.
Pouvez vous simplement m’indiquer si il y a erreur ou non dans le sujet ?

Je ne souhaite par ailleurs aucune aide si le sujet s’avère être correct, je veux juste être sur que je ne perds pas mon temps
Merci

Re: Coquille dans un DM (?)

Posté : 07 sept. 2018 20:23
par Nicolas Patrois
Essaie par l’absurde.

Re: Coquille dans un DM (?)

Posté : 08 sept. 2018 07:56
par rickyy
Pas de coquille.

Re: Coquille dans un DM (?)

Posté : 08 sept. 2018 18:57
par Enoum
Merci à tous pour vos réponses
j’ai laissé la question en suspens pour me concentrer sur mon TD de physique. La physique étant fini je vais reprendre mes recherches.

Re: Coquille dans un DM (?)

Posté : 09 sept. 2018 23:07
par ahmedata10
Enoum a écrit :
08 sept. 2018 18:57
Merci à tous pour vos réponses
j’ai laissé la question en suspens pour me concentrer sur mon TD de physique. La physique étant fini je vais reprendre mes recherches.
epsilon = 1/p puis limite

Re: Coquille dans un DM (?)

Posté : 10 sept. 2018 09:15
par YS1
La méthode proposée ci-dessus (passage à la limite) me parait "anachronique" car la propriété à prouver va venir justifier la définition formelle de la notion de limite.

Comme ça a été dit, il n'y a pas de coquille : la propriété demandée est vraie et prouvable. Cela dit c'est une bonne attitude que d'être critique face à un énoncé : ils peuvent contenir des erreurs, et plus tard vous serez confronté à des questions plus ouvertes où on ne vous dit pas si la propriété étudiée est vraie ou fausse. Et la recherche de contre-exemple est également une bonne pratique quand on a un doute sur une propriété. Enfin, vous avez bien vu à quoi doit ressembler un contre-exemple pour une implication (si… alors…).

Mais en l'espèce, il faut bien voir que dans l'hypothèse, une fois a et b fixés, la relation a < b + ε n'est pas supposée pour un seul ε>0, mais pour tous, aussi petits soient-ils, et c'est cela qu'il faut réussir à exploiter. Dans le "contre-exemple" proposé a=10 b=5, on a certes a < b + ε pour ε=7 mais pas pour tous les ε>0 : l'hypothèse de l'énoncé n'est pas vérifié, et ce n'est donc pas un contre-exemple.

On peut commencer par prouver le résultat pour a = 0 : c'est un peu plus facile à voir et on peut ensuite ramener le cas général à ce cas simplifié.