Exo de géométrie complexe

[Zluuz]

Bonjour, je bloque à une question:
Déterminer les nombres complexes z tels que: z, 1/z et -i sont alignés.
On a la condition suivante: arg[(z+i)/((1/z)+i)] = 0 modulo pi.
Donc le nombre (après simplification) (z+i)z/(1+z) doit être réel. Je ne vois pas comment poursuivre...
J'ai considéré i au "centre" si on considère z ou 1/z, peut-être que ça se simplifie plus?
Merci de m'aider.

[GaBuZoMeu]

Tu t'es trompé dans ta simplification (ou tu as fait une coquille en recopiant).
Corrige le nombre qui doit être réel. Calcule sa partie imaginaire en fonction de z, ça te fait l'équation voulue.
Indication pour vérifier tes calculs : tu dois trouver la réunion d'une droite et d'un cercle.

[matmeca_mcf1]

Il vaut mieux utiliser le conjugué que l'inverse, z, 1/z et -i sont alignées ssi

SPOILER:

$$
(z+i)\overline{(\frac{1}{z}+i)}\in\mathbb{R}
\\\iff
(z+i)(\frac{1}{\bar{z}}-i)\in\mathbb{R}
\\\iff
\frac{z}{\bar{z}}+1+\frac{i}{\bar{z}}-iz\in\mathbb{R}
\\\iff
\frac{z}{\bar{z}}+\frac{i}{\bar{z}}-iz\in\mathbb{R}
\\\iff
\frac{z}{\bar{z}}-\frac{\bar{z}}{z}+i(\frac{1}{\bar{z}}+\frac{1}{{z}}-(z+\bar{z}))=0
\\\iff
(z^2-\bar{z}^2)+i((z+\bar{z})-(z+\bar{z})\lvert z\rvert^2)=0
\\\iff
(z+\bar{z})(z-\bar{z})+i(z+\bar{z})(1-\lvert z\rvert^2)=0
\\\iff
(z+\bar{z})(z-\bar{z}+i(1-\lvert z\rvert^2))=0
\\\iff
(z+\bar{z})(1-( z\bar{z}+iz-i\bar{z}))=0
\\\iff
(z+\bar{z})(2-\lvert z-i\rvert^2)=0
$$

[Zluuz]

Bonsoir, merci pour vos réponses.

@matmeca_mcf
Merci mais je ne comprends pas le début de la démarche: Il faut que le nombre (z+i)/[(1/z)+i] soit réel.
Mais je ne vois pas pourquoi c'est équivalent à la toute première relation que tu as écrite: diviser par (1/z)+i c'est multiplier par son conjugué ?
Merci

[GaBuZoMeu]

Soient $ u $ et $ w $ deux complexes, $ w\neq 0 $. Alors $ \dfrac{u}{w}= \dfrac{u\,\overline w}{|w|^2} $, donc $ \dfrac{u}{w} $ est réel si et seulement si $ u\,\overline w $ est réel.

[Zluuz]

Bon, faut que je réfléchisse plus en profondeur...
Merci beaucoup

[jmctiti]

Bon, faut que je réfléchisse plus en profondeur...
Merci beaucoup

Si tu veux revoir les méthodes, regarde http://www.les-maths-en-prepas.fr/Cours ... reChapitre

[Zluuz]

Site très pratique merci.

[Zluuz]

$$

(z+\bar{z})(z-\bar{z}+i(1-\lvert z\rvert^2))=0
\\\iff
(z+\bar{z})(1-( z\bar{z}+iz-i\bar{z}))=0
\\\iff
(z+\bar{z})(2-\lvert z-i\rvert^2)=0
$$

Quelqu'un pourrait m'expliquer le passage de ces lignes?.
Je ne comprends pas la démarche.
C'est impressionnant comment il faut jongler avec les complexes, c'est normal si ça ne me parrait pas si évident ?

[matmeca_mcf1]

De la première à la deuxième ligne, j'ai divisé par $ \mathrm{i} $ et remplacé $ \lvert z\rvert^2 $ par $ z\bar{z} $. Mais à partir de la première ligne, on peut aussi remplacer $ z-\bar{z} $ par $ 2\mathrm{Im}(z) $ et $ \lvert z\rvert^2 $ par $ \mathrm{Re}(z)^2+\mathrm{Im}(z)^2 $. Et c'est probablement plus simple.