Fornes liniaires

[GaBuZoMeu]

@ Mosalahmoh : peux-tu détailler ? Ça ne me semble pas clair du tout, ce que tu écris.

@ matmeca_mcf1 : pas de Hahn-Banach, rien que des outils élémentaires d'algèbre linéaire - mais un peu vache, je l'ai dit.

[Mosalahmoh]

@ Mosalahmoh : peux-tu détailler ? Ça ne me semble pas clair du tout, ce que tu écris.

@ matmeca_mcf1 : pas de Hahn-Banach, rien que des outils élémentaires d'algèbre linéaire - mais un peu vache, je l'ai dit.

je peu pas ecrire en latex et ils ne me laissent pas ajouter des fichiers ..

[Nicolas Patrois]

Inutile d’ajouter des fichiers, il suffit d’utiliser la balise idoine (va voir dans l’éditeur complet).

[GaBuZoMeu]

La réponse de Dattier n'est pas mal. Voici une façon de faire vraiment terre à terre.

SPOILER:

On s'intéresse uniquement à démontrer que, si $ \bigcap_{i=1}^p \ker(\ell_i) \subset \ker(m) $, alors $ m $ est combinaison linéaire des $ \ell_i $. Posons
$$ L=(\ell_1,\ldots,\ell_p,m) : E \to K^{p+1}\;. $$
Soit $ F\subset K^{p+1} $ l'image de $ L $ et $ (f_1,\ldots,f_r) $ une base de $ F $. L'hypothèse entraîne que $ e_{p+1}=(0,\ldots,0,1) $ n'appartient pas à $ F $, donc la famille $ (f_1,\ldots,f_r,e_{p+1}) $ est libre et on peut la compléter en une base $ (f_1,\ldots,f_p,e_{p+1}) $ de $ K^{p+1} $. Soit $ u:K^{p+1}\to K $ la forme linéaire définie par $ u(f_i)=0 $ pour $ i=1,\ldots,p $ et $ u(e_{p+1})=1 $. La forme linéaire $ u $ s'écrit
$$ u : y=(y_1,\ldots,y_p,y_{p+1}) \longmapsto a_1y_1+\cdots+a_py_p+y_{p+1}\;. $$
Par construction $ u\circ L=0 $, ce qui veut dire que
$$ m=\sum_{i=1}^p -a_i \ell_i\;. $$

[oty20]

je suis pas encore en mpsi Mais merci .

Tu fais le programme de prepas au plus la terminal ?