Résoudre une équation différentielle du second ordre à coefficient variant

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Résoudre une équation différentielle du second ordre à coefficient variant

Message par Nefi » 27 nov. 2018 19:14

Je suis en train de faire des exercices, et là je suis tomber sur une équation différentielles avec des fonctions comme coefficient. J'aimerai savoir s'il y avait une méthode générale pour ce genre d'équation différentielle du second ordre ?

Car avec l'équation caractéristique on ne peut pas connaître le signe de delta vu qu'on a b^2(x) - 4.a(x).c(x) ...

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Re: Résoudre une équation différentielle du second ordre à coefficient variant

Message par Nicolas Patrois » 27 nov. 2018 20:11

Non parce que rien que $ y^{\prime\prime}=xy $ est une horreur.
INFINITÉSIMAL : On ne sais pas ce que ce c’est, mais a rapport à l’homéopathie.
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Re: Résoudre une équation différentielle du second ordre à coefficient variant

Message par Luckyos » 27 nov. 2018 20:37

On va supposer que les coefficients sont des fonctions continues.

Sur un intervalle sur lequel $ a $ ne s'annule pas, tu sais que l'ensemble des solutions de l'équation homogène est de dimension $ 2 $. On essaie alors de trouver deux solutions de l'équation homogène linéairement indépendantes pour obtenir une base.

Si on dispose d'une solution non nulle de l'équation homogène, on peut grâce à l'équation différentielle (du 1er ordre) vérifiée par le wronskien trouver une deuxième solution indépendante. Il ne reste plus qu'à trouver cette solution non nulle, et c'est là qu'on n'a pas de méthode générale. On peut chercher par exemple une solution développable en série entière.

Une fois que l'on a une base de l'ensemble des solutions de l'équation homogène, il ne manque plus qu'une solution particulière de l'équation avec second membre. On peut la trouver en utilisant la méthode de "variation des constantes", qui ressemble à celle du même nom pour le 1er ordre.

Ensuite si $ a $ s'annule à certains endroits, il faut recoller les morceaux.

Edit : J'ai répondu avec des notions qu'on voit en spé désolé, c'est normal si tu comprends pas grand chose.
2015 - 2016 : Terminale S-SVT Spé maths
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