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Bonsoir,

J'ai une question qui tourne en rond dans ma tête, est-ce qu'une matrice inversible d'ordre n peut être décomposé en 2 matrices inversibles d'ordre n ?

Tu veux dire "une matrice $ M $ inversible peut-elle se décomposer en une somme de deux matrices inversibles" ?

Tu es en spé et as fait le chapitre sur la réduction ? Si oui voilà une réponse :

Sur un corps infini comme $ \mathbb{R} $ ou $ \mathbb{C} $, oui, et pas besoin de l'inversibilité de la matrice $ M $. Prends un scalaire non nul $ t $ qui n'est pas valeur propre de $ M $, et les matrices $ M-tI_n $ et $ tI_n $

Non pas une somme, une produit matricielle

L'identité multipliée par la matrice elle-même ?

Snif, malheureusement

Moi qui m'attendais à quelque chose de plus profond, bah c'est raté

bah... A^2 A^(-1) c'est plus profond si tu veux

wow, je viens d'avoir l'éclair de génie du siècle, merci beaucoup

Si tu veux plus profond il faut chercher des propriétés particulières dans les deux matrices dont celle d'origine est le produit, sans quoi il y a une infinité de façons de faire dont les plus triviales sont M = M.I = I.M.
Et là tu en as une palanquée, les plus utiles dans les algorithmes sont les décompositions LU (triangulaire inférieure * triangulaire supérieure) et QR (orthogonale * triangulaire supérieure), en dérivées tu as RQ, LQ, QL, UL, etc.
Tu n'es pas obligé de te limiter à deux matrices d'ailleurs, dans ce cas tu as la décomposition SVD qui est très utilisée ou encore QR avec pivot qui garantit que les termes diagonaux de R sont décroissants.
Je te laisse chercher les références, il n'y a pas besoin d'aller bien loin.

Au passage, ces décompositions ne se limitent pas aux matrices inversibles, qui ne sont pas tellement différentes des matrices non-inversibles tant qu'on n'essaie pas de les inverser (ce qui est le cas ici puisqu'on veut juste les décomposer).