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Matrice inversible

Posté : 08 déc. 2018 21:56
par tsukiyumio
Bonsoir,

J'ai une question qui tourne en rond dans ma tête, est-ce qu'une matrice inversible d'ordre n peut être décomposé en 2 matrices inversibles d'ordre n ?

Re: Matrice inversible

Posté : 08 déc. 2018 22:20
par Krik
Tu veux dire "une matrice $ M $ inversible peut-elle se décomposer en une somme de deux matrices inversibles" ?

Tu es en spé et as fait le chapitre sur la réduction ? Si oui voilà une réponse :

Sur un corps infini comme $ \mathbb{R} $ ou $ \mathbb{C} $, oui, et pas besoin de l'inversibilité de la matrice $ M $. Prends un scalaire non nul $ t $ qui n'est pas valeur propre de $ M $, et les matrices $ M-tI_n $ et $ tI_n $

Re: Matrice inversible

Posté : 09 déc. 2018 10:47
par tsukiyumio
Non pas une somme, une produit matricielle

Re: Matrice inversible

Posté : 09 déc. 2018 12:08
par Krik
L'identité multipliée par la matrice elle-même ?

Re: Matrice inversible

Posté : 09 déc. 2018 15:26
par tsukiyumio
Snif, malheureusement :(

Moi qui m'attendais à quelque chose de plus profond, bah c'est raté

Re: Matrice inversible

Posté : 09 déc. 2018 16:08
par bullquies
bah... A^2 A^(-1) c'est plus profond si tu veux

Re: Matrice inversible

Posté : 09 déc. 2018 18:35
par tsukiyumio
wow, je viens d'avoir l'éclair de génie du siècle, merci beaucoup

Re: Matrice inversible

Posté : 09 déc. 2018 22:20
par Puffin
Si tu veux plus profond il faut chercher des propriétés particulières dans les deux matrices dont celle d'origine est le produit, sans quoi il y a une infinité de façons de faire dont les plus triviales sont M = M.I = I.M.
Et là tu en as une palanquée, les plus utiles dans les algorithmes sont les décompositions LU (triangulaire inférieure * triangulaire supérieure) et QR (orthogonale * triangulaire supérieure), en dérivées tu as RQ, LQ, QL, UL, etc.
Tu n'es pas obligé de te limiter à deux matrices d'ailleurs, dans ce cas tu as la décomposition SVD qui est très utilisée ou encore QR avec pivot qui garantit que les termes diagonaux de R sont décroissants.
Je te laisse chercher les références, il n'y a pas besoin d'aller bien loin.

Au passage, ces décompositions ne se limitent pas aux matrices inversibles, qui ne sont pas tellement différentes des matrices non-inversibles tant qu'on n'essaie pas de les inverser (ce qui est le cas ici puisqu'on veut juste les décomposer).