Exercice algèbre bilinéaire

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TLB

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Exercice algèbre bilinéaire

Message par TLB » 15 déc. 2018 12:13

Bonjour,
Je viens quémander de l'aide pour cet exercice que je n'arrive pas à traiter :?
Voici l'énoncé :

Soient A et B deux matrices colonnes d'ordre n, non nulles. Quelles sont les valeurs propres de la matrice $ I_{n}+A.B^{T} $

Sachant que le chapitre en cours est : les espaces préhilbertiens réels, auriez-vous des pistes de réflexion ?

Merci.
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Re: Exercice algèbre bilinéaire

Message par Nabuco » 15 déc. 2018 13:31

Peut être commencer par regarder ce que donne In+AB^t restreint à l'orthogonal de B.
Ensuite tu peux regarder ce que ça donne pour l'espace associé à la valeur propre 1, et montrer que si X est un VP associé à une valeur propre différente de 1 il est colinéaire à A

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Re: Exercice algèbre bilinéaire

Message par bullquies » 15 déc. 2018 14:22

Soit X un vecteur propre de $ I_n + AB^T $ associé à $ \lambda $. Alors $ X + AB^T X = \lambda X $.

Remarque que $ B^T X = (B,X) $ le produit scalaire canonique entre B et X. Donc il vient $ A . (B,X) = (\lambda - 1) X $

De là il ne reste pas beaucoup de possibilités pour $ \lambda $ et $ X $
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Re: Exercice algèbre bilinéaire

Message par BobbyJoe » 16 déc. 2018 10:29

Je t'aurais conseillé de regarder le spectre (avec multiplicité) de $A^{t}B$ (qui s'obtient par le théorème du rang et en regardant la trace).
Ensuite, il suffit de translater (c'est plus visuel ainsi à mon avis... éliminer les informations "parasites"/réduire le problème).

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