Produit de convolution

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
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Produit de convolution

Message par Mariem202 » 04 janv. 2019 22:48

Bonsoir

Je n'arrive pas à voir quel théorème on a utilisé pour répondre à la deuxième question de cet exercice (Il me semble qu'ils ont utilisé le théorème de sommation par paquets deux fois, sauf qu'ici les paquets sont indexés par Z alors que dans le cours l'énoncé du théorème précise que les paquets doivent être indexés par N):

On note $ ℓ_1(Z) $ l'ensemble des familles de nombres complexes $ u=(u_n)_{n∈Z} $ qui sont sommables. On définit sur $ ℓ_1(Z) $ une norme en posant $ N(u) $ la somme de la famille $ (|u_n|)_{n∈Z} $.
1) Soit $ u,v∈ℓ_1(Z) $. Démontrer que, pour tout n∈Z, la famille $ (u_kv_{n−k})_{k∈Z} $ est sommable.
2) Pour $ u,v∈ℓ_1(Z) $, on définit la famille u⋆v par $ (u⋆v)_n=∑_{k∈Z}u_kv_{n−k} $ où n∈Z. Démontrer que $ u⋆v∈ℓ_1(Z) $, puis calculer N(u⋆v) en fonction de N(u) et de N(v).

Voilà le corrigé de la deuxième question:

Pour chaque k∈Z, la famille $ (u_kv_{n−k})_{n∈Z} $ est sommable, de somme $ ∑_{n∈Z}|u_k|⋅|v_{n−k}|=|u_k|∑_{n∈Z}|v_n| $. La famille$ (|u_k|∑_{n∈Z}|v_n|)_{k∈Z} $ est elle-même sommable, de somme $ ∑_{k∈Z}|u_k|∑_{n∈Z}|v_n| $. Ainsi, la famille $ (u_kv_{n−k})_{(k,n)∈Z^2} $ est sommable, de somme $ ∑_{k∈Z}u_k∑_{n∈Z}v_n $n. On en déduit que la famille $ (∑_{k∈Z}u_kv_{n−k})_{n∈Z} $ est sommable, de même somme. Finalement, en prenant partout des modules, on a bien
N(u⋆v)=N(u)×N(v).

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Re: Produit de convolution

Message par Nabuco » 04 janv. 2019 23:04

Mariem202 a écrit :
04 janv. 2019 22:48
Bonsoir

Je n'arrive pas à voir quel théorème on a utilisé pour répondre à la deuxième question de cet exercice (Il me semble qu'ils ont utilisé le théorème de sommation par paquets deux fois, sauf qu'ici les paquets sont indexés par Z alors que dans le cours l'énoncé du théorème précise que les paquets doivent être indexés par N):

On note $ ℓ_1(Z) $ l'ensemble des familles de nombres complexes $ u=(u_n)_{n∈Z} $ qui sont sommables. On définit sur $ ℓ_1(Z) $ une norme en posant $ N(u) $ la somme de la famille $ (|u_n|)_{n∈Z} $.
1) Soit $ u,v∈ℓ_1(Z) $. Démontrer que, pour tout n∈Z, la famille $ (u_kv_{n−k})_{k∈Z} $ est sommable.
2) Pour $ u,v∈ℓ_1(Z) $, on définit la famille u⋆v par $ (u⋆v)_n=∑_{k∈Z}u_kv_{n−k} $ où n∈Z. Démontrer que $ u⋆v∈ℓ_1(Z) $, puis calculer N(u⋆v) en fonction de N(u) et de N(v).

Voilà le corrigé de la deuxième question:

Pour chaque k∈Z, la famille $ (u_kv_{n−k})_{n∈Z} $ est sommable, de somme $ ∑_{n∈Z}|u_k|⋅|v_{n−k}|=|u_k|∑_{n∈Z}|v_n| $. La famille$ (|u_k|∑_{n∈Z}|v_n|)_{k∈Z} $ est elle-même sommable, de somme $ ∑_{k∈Z}|u_k|∑_{n∈Z}|v_n| $. Ainsi, la famille $ (u_kv_{n−k})_{(k,n)∈Z^2} $ est sommable, de somme $ ∑_{k∈Z}u_k∑_{n∈Z}v_n $n. On en déduit que la famille $ (∑_{k∈Z}u_kv_{n−k})_{n∈Z} $ est sommable, de même somme. Finalement, en prenant partout des modules, on a bien
N(u⋆v)=N(u)×N(v).
En fait tu peux juste dire que N et Z sont en bijection et obtenir ton théorème de sommation par paquets sur Z ainsi.

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Re: Produit de convolution

Message par Nicolas Patrois » 05 janv. 2019 08:03

Fais gaffe, dans certains cas très particuliers, une sommation sur $ \mathbb{Z} $ n’est pas une sommation sur $ \mathbb{N} $ et une sur $ -\mathbb{N} $ mais une sommation du genre $ \sum_{n=0}^{+\infty} (sin(n)+sin(-n)) $.
INFINITÉSIMAL : On ne sais pas ce que ce c’est, mais a rapport à l’homéopathie.
-+- Gustave Flaubert, Dictionnaire des idées reçues -+-

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Re: Produit de convolution

Message par bullquies » 05 janv. 2019 09:53

Tu peux expliciter si on te pose la question.

Tu réordonnes les entiers relatifs comme suit (par exemple) : 0,-1,1,-2,2,-3,3, etc.
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona

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