recurrence

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recurrence

Message par kadprepa » 24 janv. 2019 11:58

Bonjour

La suite (Un), Un = -4 + (-1)^n
Etudier la limite de cette suite.

Pour n pair: Un=-3
Pour n impair: Un=-5

Il semble que la suite n'a pas de limite.

U(n+1)-Un=-4 + (-1)^(n+1) - ( -4 + (-1)^n ) = (-1)^(n+1) - (-1)^n
U(n+1)-Un= (-1)^(n+1) + (-1)^(n+1)
U(n+1)-Un=2*(-1)^(n+1)

Pour n pair: U(n+1)-Un=-2
Pour n impair:U(n+1)-Un=2
Donc la limite n'existe pas.

Je pense que c'est correct !

Mais j'ai envie de le démontrer par récurrence mais je n'arrive pas à pose l'hypothèse de récurrence!
Merci pour vos commentaires

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Re: recurrence

Message par Chronoxx » 24 janv. 2019 13:10

Bonjour !
Effectivement, cette suite n'a pas de limite. Pour justifier cela, tu l'as très bien fait : tu vois que pour $n$ impair, $u_n$ vaut $-5$ et vaut $-3$ pour $n$ pair.
En fait, ce que tu as fait implicitement, c'est que tu as pris deux sous-suites de $(u_n)$ qui convergent vers des limites différentes (une sous-suite en gros c'est le fait de ne garder qu'une partie infinie des termes de ta suite). Et c'est suffisant pour conclure.
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Re: recurrence

Message par JeanN » 24 janv. 2019 14:04

kadprepa a écrit :
24 janv. 2019 11:58
Bonjour

La suite (Un), Un = -4 + (-1)^n
Etudier la limite de cette suite.

Pour n pair: Un=-3
Pour n impair: Un=-5

Il semble que la suite n'a pas de limite.

U(n+1)-Un=-4 + (-1)^(n+1) - ( -4 + (-1)^n ) = (-1)^(n+1) - (-1)^n
U(n+1)-Un= (-1)^(n+1) + (-1)^(n+1)
U(n+1)-Un=2*(-1)^(n+1)

Pour n pair: U(n+1)-Un=-2
Pour n impair:U(n+1)-Un=2
Donc la limite n'existe pas.

Je pense que c'est correct !

Mais j'ai envie de le démontrer par récurrence mais je n'arrive pas à pose l'hypothèse de récurrence!
Merci pour vos commentaires
Surtout pas de récurrence !
Tu as deux possibilités :
Dire que les suites des termes de rang pair et de rang impairs sont deux suites extraites qui convergent vers deux limites distinctes donc la suite est divergente.
Ou alors si tu n’es pas très à l’aise, raisonner par l’absurde, supposer que la suite est convergente, noter L sa limite, montrer que L=-5 et L=-3, en déduire que -5=-3 ce qui constitue une absurdité.
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Re: recurrence

Message par kadprepa » 31 janv. 2019 18:06

1°) supposons que la suite U converge vers le réel L
Au rang n fixé:
Pour n pair: Un=-3
Pour n impair: Un=-5

Comme -3 différent de -5 alors on a une contradiction et donc la suite n'a pas de limite.
Je suis sûr que ma rédaction est insuffisante !

2°)
Surtout pas de récurrence !
Pourquoi ?

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Re: recurrence

Message par Nicolas Patrois » 31 janv. 2019 19:31

1) Oui, soit $ \epsilon=1/10 $, essaie de trouver un rang $ N $ à partir duquel $ \forall n\geslant N $, $ |u_n+3|\leslant \epsilon $.
INFINITÉSIMAL : On ne sais pas ce que ce c’est, mais a rapport à l’homéopathie.
-+- Gustave Flaubert, Dictionnaire des idées reçues -+-

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Re: recurrence

Message par JeanN » 31 janv. 2019 21:02

kadprepa a écrit :
31 janv. 2019 18:06
1°) supposons que la suite U converge vers le réel L
Au rang n fixé:
Pour n pair: Un=-3
Pour n impair: Un=-5

Comme -3 différent de -5 alors on a une contradiction et donc la suite n'a pas de limite.
Je suis sûr que ma rédaction est insuffisante !
Essaye vraiment de démontrer que L=-3 puis que L=-5 en utilisant des suites extraites.




2°)
Surtout pas de récurrence !
Pourquoi ?

Parce que tu n'as vraiment aucune propriété pertinente à démontrer par récurrence dans cet exo.
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Re: recurrence

Message par rickyy » 31 janv. 2019 21:16

kadprepa a écrit :
31 janv. 2019 18:06
1°) supposons que la suite U converge vers le réel L
Au rang n fixé:
Pour n pair: Un=-3
Pour n impair: Un=-5

Comme -3 différent de -5 alors on a une contradiction et donc la suite n'a pas de limite.
Je suis sûr que ma rédaction est insuffisante !
Va lire la partie de ton cours concernant les suites extraites et leurs limites, je pense que tu trouveras comment rédiger.
MPSI-MP*, Hoche -> ENS Rennes, Maths -> Doctorat, chargé de TD à l'ENS Rennes. -> Prof.

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Re: recurrence

Message par kadprepa » 01 févr. 2019 11:03

Merci pour vos réponses.

Mon niveau est de terminale donc je ne connais pas les suites extraites.
Mais ce n'est pas grave, je n'ai aucune contrainte simplement je suis curieux, les mathématiques m'amusent et j'aime bien ça !

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Re: recurrence

Message par JeanN » 01 févr. 2019 11:04

Cherche un peu "suite extraite" sur google dans ce cas :)
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