polynome

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polynome

Message par Hicham alpha » 22 févr. 2019 17:27

bonjour

merci de m'aider dans la question suivante,
Quels sont les polynomes P ∈ ℂ [x] pour lesquels P̃(ℂ) ⊂ ℝ.

bonne journée :D

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Re: polynome

Message par Krik » 22 févr. 2019 17:34

Tout polynôme est un interpolateur de Lagrange qui s'ignore.

Edit : Oups oui Nabuco a raison, j'avais mal lu :oops:
Modifié en dernier par Krik le 22 févr. 2019 19:31, modifié 1 fois.

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Re: polynome

Message par Nabuco » 22 févr. 2019 17:36

Je pense que krik voulait parler des polynômes complexes qui envoient R dans R, l'indication évoquée me semble pas incroyablement utile...

Si P(C) est inclus dans R que peut-on dire du polynôme P-i ?

Aussi on peut utiliser une technique type Dl.

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Re: polynome

Message par Hicham alpha » 22 févr. 2019 18:52

Merci pour vos réponses.
-Krik, je connais pas les interpolateurs de lagrange... Désolé
-Nabuco, je pense que P-i a comme fonction polynomiale, une fonction d'image dans C\R. Non ?
La technique de Dl onsiste à faire quoi ?

Bonne journée

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Re: polynome

Message par Krik » 22 févr. 2019 20:01

Pour me faire pardonner d'avoir mal lu, je te propose de montrer un résultat plus général (et qui illustre bien qu'un résultat plus général peut être plus facile à montrer quand on fait les hypothèses minimales) : si $ P $ est un polynôme non constant, alors $ P(\mathbb{C}) =\mathbb{C} $.
C'est une simple application de D'Alembert-Gauss.

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Re: polynome

Message par Nabuco » 22 févr. 2019 20:27

Hicham alpha a écrit :
22 févr. 2019 18:52
Merci pour vos réponses.
-Krik, je connais pas les interpolateurs de lagrange... Désolé
-Nabuco, je pense que P-i a comme fonction polynomiale, une fonction d'image dans C\R. Non ?
La technique de Dl onsiste à faire quoi ?

Bonne journée
En fait considérer P-i est globalement ce que propose krik dans le message au dessus.

Sinon la technique DL c'est pas tellement un DL mais l'idée c'est de regarder le terme dominant (c'est significativement ressemblant à d'alembert gauss). Si P est non constant on pose P(x)=P(0)+aX^k* Q(X), avec Q(0)=1 et a différent de 0, on prend b réel tel que exp(ib)*a est dans iR+* i.e. vaut i|a|
Im((P(rexp(itheta))-P(0))/r^k)=Im(iQ(rexp(ib))) |a| qui tend vers |a|>0 lorsque r tend vers 0.
Bilan pour r assez petit Im((P(rexp(itheta))-P(0))/r^k)>, contradiction

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Re: polynome

Message par Hicham alpha » 25 févr. 2019 17:53

Merci beaucoups.

Donc, il ne nous reste que les polynomes constantes ( où la constante appartient à l'ensemble R).

Bonne journée

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