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Bonjour, je lis dans un exercice corrigé:
Soit p€IN la division euclidienne de X^p par (X-1)(X-3) s'ecrit avec les polynomes de lagrange L1=(X-3)/(-2)
Et L2=(X-1)/2 associés aux reels distincts 1 et 3:

X^p=(X-1)(X-3)Q+(1^p)L1+(3^p)L2


Or je ne sais pas vraiment d'ou vient cette formule, de la formule d'interpolation de lagrange? Mais du coup je ne vois pas ce qui permet de dire que en elevant L1 et (3^p)L2 on obtienne un diviseur de (X-1)(X-3)
Pouvez vous m'aider s'il vous plait? Merci d'avance

Tu sais que le reste de la division est un polynôme d degré au plus 1 donc il est combinaison linéaire de deux polynômes de degré 1 non proportionnels, par exemple L1 et L3. Pourquoi L1 et L3 ? Parce que l’identification des membres de droite et de gauche te donne la solution presque immédiatement.
Si tu préfères écrire X^p=(X-1)(X-3)Q+aX+b, libre à toi.
Fais attention quand même aux cas p=0 et p=1.

Merci beaucoup de votre reponse qui m’eclaircit mes idées mais je ne comprends pas vraiment toujours pourquoi L1 et L2 fonctionnent ici cela decoule t’il d’une certaine propriété?

Si t'écris X^p=(X-1)(X-3)Q+R où deg(R)<deg((X-1)(X-3))=2, alors en évaluant en 1 et en 3 : 1^p=R(1) et 3^p=R(3).
Donc R est un polynôme de R_1[X] qui vaut 1^p en 1 et 3^p en 3.
Par interpolation de Lagrange, on peut alors exprimer R dans la base des polynômes de Lagrange associés aux réels 1 et 3.

Merci beaucoup!