Norme d'un produit matriciel

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 0

Inscription : 20 févr. 2019 20:16

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Norme d'un produit matriciel

Message par Blincer » 17 mars 2019 09:51

Soit $ A $ la matrice d'un endomorphisme $ f $ de $ E $ euclidien.
Soit $ \lambda_1, ..., \lambda_n $ les valeurs propres de $ {}^tAA $.

Dans un exercice, il est écrit $ ||Ax||^2=<{}^tAAx, x>=\sum_{i=1}^n\lambda_i<x_i, e_i>^2 $ avec x unitaire.
Je comprends la première égalité $ ||Ax||^2=<Ax, Ax>=<{}^tAAx, x> $ grâce aux endormorphismes adjoints mais pas la seconde.

Merci d'avance,

Messages : 4

Inscription : 16 févr. 2018 20:30

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Norme d'un produit matriciel

Message par prepamath » 17 mars 2019 10:20

tAA est symétrique + théorème spectral devrait t'éclairer

Messages : 0

Inscription : 20 févr. 2019 20:16

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Norme d'un produit matriciel

Message par Blincer » 17 mars 2019 10:46

Je sais que $ (e_i)_i $ est une b.o.n. de $ E $ associée aux valeurs propres $ (\lambda_i)_i $ et $ {}^tAA $ est symétrique $ {}^t({}^tAA)={}^tAA $ mais que ne vois pas trop le rapport avec de calcul.

Messages : 3823

Inscription : 17 avr. 2012 21:19

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Norme d'un produit matriciel

Message par bullquies » 17 mars 2019 11:24

bah décompose x sur la base propre orthonormée.

tAAx = somme lambda_i xi ei

et voilà
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona

Messages : 0

Inscription : 20 févr. 2019 20:16

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Norme d'un produit matriciel

Message par Blincer » 17 mars 2019 11:49

Je n'avais pas pensé à ça, merci.

Répondre