Norme d'un produit matriciel
Norme d'un produit matriciel
Soit $ A $ la matrice d'un endomorphisme $ f $ de $ E $ euclidien.
Soit $ \lambda_1, ..., \lambda_n $ les valeurs propres de $ {}^tAA $.
Dans un exercice, il est écrit $ ||Ax||^2=<{}^tAAx, x>=\sum_{i=1}^n\lambda_i<x_i, e_i>^2 $ avec x unitaire.
Je comprends la première égalité $ ||Ax||^2=<Ax, Ax>=<{}^tAAx, x> $ grâce aux endormorphismes adjoints mais pas la seconde.
Merci d'avance,
Soit $ \lambda_1, ..., \lambda_n $ les valeurs propres de $ {}^tAA $.
Dans un exercice, il est écrit $ ||Ax||^2=<{}^tAAx, x>=\sum_{i=1}^n\lambda_i<x_i, e_i>^2 $ avec x unitaire.
Je comprends la première égalité $ ||Ax||^2=<Ax, Ax>=<{}^tAAx, x> $ grâce aux endormorphismes adjoints mais pas la seconde.
Merci d'avance,
Re: Norme d'un produit matriciel
tAA est symétrique + théorème spectral devrait t'éclairer
Re: Norme d'un produit matriciel
Je sais que $ (e_i)_i $ est une b.o.n. de $ E $ associée aux valeurs propres $ (\lambda_i)_i $ et $ {}^tAA $ est symétrique $ {}^t({}^tAA)={}^tAA $ mais que ne vois pas trop le rapport avec de calcul.
Re: Norme d'un produit matriciel
bah décompose x sur la base propre orthonormée.
tAAx = somme lambda_i xi ei
et voilà
tAAx = somme lambda_i xi ei
et voilà
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona
Re: Norme d'un produit matriciel
Je n'avais pas pensé à ça, merci.