exercice algèbre

[FlorianDX]

Ah d'accord ça y est j'ai compris avec ces explications, en fait mon problème venait du fait que mon corrigé m'induisait en erreur car il semblait dire que "si αp = 0, alors on avait TOUS les αj de l'ensemble [|α0; α(p-1)|] qui étaient non nuls". Or non, comme le dit JeanN dans son dernier message c'est ""si αp = 0, alors IL EXISTE UN αj de l'ensemble [|α0; α(p-1)|] qui est non nul"
=> Et donc là on aboutit bien à notre contradiction car, puisque la famille (a, f(a), ..., f^(p-1) (a)) est libre comme le dit l'énoncé, alors tous les αj de l'ensemble [|α0; α(p-1)|] sont nuls, donc l'hypothèse de départ "αp = 0" est fausse, donc on a αp ≠ 0.

Donc la bonne version du corrigé c'est plutôt celle-ci avec ce que j'ai indiqué en vert et rouge en bas à droite: https://goopics.net/i/g5A2y


Et du coup j'ai une question concernant la ligne suivante, je l'ai indiqué en vert tout en bas à gauche dans le lien ci-dessous, car en effet, si j'ai bien compris, comme on a la somme des j allant de 0 à p des αj x f^j (a) = 0 , et comme on a tous les aj de l'ensemble [|α0; α(p-1)|] qui sont nuls" et αp ≠ 0, alors pour que la somme soit bien égale à 0, cela signifie qu'on a obligatoirement f^p (a) = 0 n'est-ce pas ?

https://goopics.net/i/EvgE7

[JeanN]

Oui

[FlorianDX]

C'est bien $ p-1 $ car le terme de la somme pour $ j=p $ est nul (c'est écrit juste au-dessus et il y a même une phrase reliant les deux lignes, tu aurais pu trouver tout seul quand même).

La fin de la correction n'a pas de sens à partir de la ligne où ça parle de famille génératrice, une famille est génératrice de quelque chose, et pas génératrice tout court.

Notons $ F=Vect(a,...,f^{p-1}(a)) $. On veut montrer que $ F=E $ (car on veut montrer que la famille est génératrice de $ E $).
Or, $ E=Vect(a,...,f^{n_0}(a)) $. Donc il suffit de montrer que $ a\in F, f(a)\in F,..., f^{n_0}(a)\in F $.

Dans ta correction, c'est fait jusqu'à $ f^p(a) $, il reste à le faire pour les suivants :
Si $ p=n_0 $, on a fini. Sinon, on montre que $ f^{p+1}(a)\in F $ (je te laisse essayer en écrivant $ f^{p+1}(a)=f(f^p(a)) $ et en utilisant que $ f^p(a)\in F $).
Si $ p+1=n_0 $, c'est fini, sinon on continue jusqu'à atteindre $ n_0 $.

D'accord merci, et donc pour finaliser la question, pour reprendre la remarque de Luckyos, la fin de mon corrigé est complètement fausse, mais si je reprends la solution qu'il suggère à la fin de son message que je cite, si je comprends bien cela veut dire qu'en fait on ne peut jamais terminer concrètement la question, c'est une question qu'on peut continuer indéfiniment dans la mesure où l'on ne connait pas la valeur de n0 ? Sinon, comment aboutir et terminer la question ?

[FlorianDX]

Et je n'arrive pas à voir comment montrer que f^(p+1) (a) appartient à Vect(a, f(a), ..., f^p (a) ), pouvez-vous me montrer la rédaction svp ?

[Luckyos]

Déjà ça va jusqu'à p-1 dans le Vect (même si c'est vrai avec p).
En utilisant ce que j'ai dit, f^(p+1)(a)=f(a_i a+...+(a_p-1)f^(p-1)(a)) où les a_i sont des réels.
Par linéarité de f, tu te retrouves avec une combinaison linéaire de f(a),...,f^p(a).
En remplaçant le f^p(a) de cette combinaison par la somme avec les a_i, on a bien une combinaison linéaire de a,...,f^(p-1)(a).

[FlorianDX]

D'accord merci, donc si j'ai bien compris ce que vous dites de faire, cela donne : https://goopics.net/i/djlYd
C'est bien ça ? Ou me suis-je trompé ?

2) Ah et par contre Luckyos vous ne m'avez pas dit, si je reprends la solution que vous suggèrez à la fin de votre message que je cite juste au-dessus, si je comprends bien cela veut dire qu'en fait on ne peut jamais terminer concrètement la question, c'est une question qu'on peut continuer indéfiniment (si à chaque fois on compose par f le terme f^p (a) pour obtenir le terme f^(p+1) , puis on compose par f le terme f^(p+1) (a) pour obtenir le terme f^(p+2) , puis on compose par f le terme f^(p+2) (a) pour obtenir le terme f^(p+3) ... et ce indéfiniment dans la mesure où l'on ne connait pas la valeur de n0 ? Sinon, comment aboutir et terminer la question ?

3) Et à la fin de la question il nous demande "Que vaut p?" dans l'énoncé ? Comment détermine-t-on "p" ? Que faut-il dire ?

[Luckyos]

On sait quand même que n_0 est fixé et fini. Donc en iterant on tombe dessus au bout d'un moment.
Pour être rigoureux on peut dire qu'on raisonne par récurrence : c'est vrai pour f^p(a) (initialisation) et tu viens de montrer l'hérédité en composant.

Sinon oui t'as bien compris ce que j'ai dit.

Pour avoir p, utilise que tu viens d'obtenir une base de E.
Combien a-t-elle d'éléments ?
Que dire du nombre d'éléments d'une base quelconque de E ?

[FlorianDX]

Donc cela veut dire que p = n+1 ?
Et ça y est, j'ai la version finale de la question rédigée, en passant par la récurrence également comme vous me l'avez conseillez:

lien corrigé rédigé 01: https://goopics.net/i/7JvOa

lien corrigé rédigé 02: https://goopics.net/i/5Jpo2

lien corrigé rédigé 03: https://goopics.net/i/rdrQ0

lien corrigé rédigé 04: https://goopics.net/i/1JZNN

Pouvez-vous me dire si la rédaction est correcte et si il n'y a pas d'erreur svp ?

[FlorianDX]

Bonjour, pouvez-vous me dire si c'est bien correct cette fois-ci s'il-vous-plaît ?