supplementaire

[Hicham alpha]

bonjour

merci de m'aider en ceci :

Soient F, G deux sous-espaces vectoriels de même dimension. Montrer qu'il
existe un sous-espace vectoriel X de E tel que E = F ⊕ X = G ⊕ X

bonne journée

[Nabuco]

bonjour

merci de m'aider en ceci :

Soient F, G deux sous-espaces vectoriels de même dimension. Montrer qu'il
existe un sous-espace vectoriel X de E tel que E = F ⊕ X = G ⊕ X

bonne journée

Commence par justifier que F union G ne vaut pas E.
Ensuite que peut on dire sur Kx F et G ?

[JeanN]

bonjour

merci de m'aider en ceci :

Soient F, G deux sous-espaces vectoriels de même dimension. Montrer qu'il
existe un sous-espace vectoriel X de E tel que E = F ⊕ X = G ⊕ X

bonne journée

Tu peux aussi commencer par répondre au problème posé lorsque F et G sont des hyperplans.

[Von_]

bonjour

merci de m'aider en ceci :

Soient F, G deux sous-espaces vectoriels de même dimension. Montrer qu'il
existe un sous-espace vectoriel X de E tel que E = F ⊕ X = G ⊕ X

bonne journée

Comme @Nabuco a suggéré , faut montrer que l'intersection de F et G n'est pas égale à E. Ensuite , il faut procéder par une récurrence descendante sur la dimension commune $ n $ ( tu supposes que c'est vrai pour n+1 puis tu montrer que c'est vrai pour n ) .

SPOILER:

Faut considérer $ F_1= F + Vect(x) $ $ et $ $ G_1= G + Vect(x) $ avec x dans E

[Siméon]

... faut ... faut ... faut

Trois fois faux : il suffit. Je chipote sans être très sérieux, mais il faut tout de même y faire attention.

D'ailleurs, l'exercice peut se résoudre directement en raisonnant avec des bases.

SPOILER:

J'introduis la notation $ [a_1,\dots,a_k] $ pour la concaténation des familles finies $a_1,\dots, a_k$.

Soit $a$ une base de $F \cap G$. On peut trouver $f,g$ deux familles finies de même cardinal telles que $[a,f]$ est une base de $F$, et $[a,g]$ est une base de $G$. Alors $[a,f,g]$ est une base de $F+G$, qu'on peut compléter en une base $[a,f,g,b]$ de $E$. En considérant par exemple la famille $f + g$ définie par sommation terme à terme, i.e. $(f+g)_i = f_i + g_i$, on vérifie que $[f+g, b]$ engendre un supplémentaire $X$ commun de $F$ et $G$. En effet, il est clair que $[f,f+g]$ et $[g,f+g]$ engendrent le même espace que $[f,g]$, à savoir un supplémentaire de $F\cap G$ dans $F+G$.

[Von_]

Le " faut " a une signification précise dans chaque partie de ma phrase. J'aime bien ta méthode : Pourquoi faire simple si on peut compliquer !

[JeanN]

Le " faut " a une signification précise dans chaque partie de ma phrase.

Justement, tu sembles confondre "il faut que" et "il suffit que". C'est effectivement un gros problème de signification et de précision du langage.

[Von_]

Ok, je prends votre remarque.

[Hicham alpha]

merci bcps pour vos réponses