Bijection

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Bijection

Message par Von_ » 31 mars 2019 13:52

Bonjour,
J'aimerais vérifier si ma rédaction est bien (et si mon raisonnement l'est aussi )
Soit x dans E un ev euclidien et H un sous-groupe compact de GL(E). u,v sont dans H.
On veut montrer que $ sup_{v \in H} \left \| v\circ u(x) \right \|=sup_{w \in H} \left \| w(x) \right \| $, j'ai donc montrer que l'application $ f: v\rightarrow v\circ u $ est bijective dans H ( avec les propriétés du problème etc ), ceci nous fournit un unique $ g \in H $ tel que $ f(g)=v\circ u=w $ , $ f^{-1}:v\rightarrow v\circ u^{-1} $ donc $ g=v $ et ainsi $ sup_{v \in H} \left \| v\circ u(x) \right \|=sup_{g \in H} \left \| w(x) \right \| $=$ sup_{f(g) \in f(H)} \left \| w(x) \right \| $=$ sup_{w \in H} \left \| w(x) \right \| $

Merci
Modifié en dernier par Von_ le 31 mars 2019 15:03, modifié 5 fois.
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Re: Bijection

Message par Nabuco » 31 mars 2019 14:34

Explicite un peu tes notations qui est G qui est x le o c est un élément ou une composition (normalement y a circ pour les compositions), ça veut dire quoi w (x) H est un groupe de morphismes ?

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Re: Bijection

Message par Von_ » 31 mars 2019 15:03

Edited.
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Re: Bijection

Message par Luckyos » 31 mars 2019 16:26

Dès qu'on a montré que $ f $ est bijective on peut presque considérer le résultat comme évident (si on est arrivé loin dans un sujet d'écrit par exemple) puisque $ f(H)=H $ (conséquence de la surjectivité de f) implique $ \{v\circ u(x)|v\in H\}=\{f(v)(x)|v\in H\}=\{w(x)|w\in H\}. $
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Re: Bijection

Message par Von_ » 31 mars 2019 17:33

Luckyos a écrit :
31 mars 2019 16:26
Dès qu'on a montré que $ f $ est bijective on peut presque considérer le résultat comme évident (si on est arrivé loin dans un sujet d'écrit par exemple) puisque $ f(H)=H $ (conséquence de la surjectivité de f) implique $ \{v\circ u(x)|v\in H\}=\{f(v)(x)|v\in H\}=\{w(x)|w\in H\}. $
Merci.
J'ai toujours du mal à savoir quand est-ce que je dois détailler la démo ou donner le résultat immédiatement ( en justifiant bien sûr, mais rapidement ).
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