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Supplémentarité du noyau et de l’image

Posté : 04 avr. 2019 17:46
par tarasbulba
Bonjour,
Soit deux espace vectoriel (E,+,•) et (F,+,•) et f une application de E dans F.
Dans quels cas Ker(f)+Im(f)=F ?

Re: Supplémentarité du noyau et de l’image

Posté : 04 avr. 2019 18:21
par Nabuco
tarasbulba a écrit :
04 avr. 2019 17:46
Bonjour,
Soit deux espace vectoriel (E,+,•) et (F,+,•) et f une application de E dans F.
Dans quels cas Ker(f)+Im(f)=F ?
Le Ker(f) c'est un sev de E donc aucune raison pour que cela ait un sens... Eventuellement le cas F=E peut être intéressant.
Pour E=F en dimension fini cela équivaut à Ker(f) inter Im(f) est nul i.e. Ker(f)=Ker(f^2)

Re: Supplémentarité du noyau et de l’image

Posté : 04 avr. 2019 19:52
par JeanN
tarasbulba a écrit :
04 avr. 2019 17:46
Bonjour,
Soit deux espace vectoriel (E,+,•) et (F,+,•) et f une application de E dans F.
Dans quels cas Ker(f)+Im(f)=F ?
Dans très peu de cas vu l’enoncé. Pourquoi poses tu cette question ?

Re: Supplémentarité du noyau et de l’image

Posté : 05 avr. 2019 21:13
par tarasbulba
D'accord merci !
Je demandais car ça m'aurait arrangé dans un exo mais je n'arrivais pas à le prouver.

Re: Supplémentarité du noyau et de l’image

Posté : 05 avr. 2019 21:34
par JeanN
Quel est l'exo ?

Re: Supplémentarité du noyau et de l’image

Posté : 07 avr. 2019 20:55
par Nicolas Patrois
Nabuco a écrit :
04 avr. 2019 18:21
Pour E=F en dimension fini cela équivaut à Ker(f) inter Im(f) est nul i.e. Ker(f)=Ker(f^2)
Et à Im(f)=Im(f²) et à Ker(f)⊕Im(f)=E.