Somme de Riemann ?

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
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Somme de Riemann ?

Message par prepamath » 10 avr. 2019 11:24

Bonjour,
Voici mon nouveau sujet de préocupation :
Déterminer la limite de :
$$ \sum_{k=0}^n(1-\frac{k}{n})^{n\alpha} $$ avec $$ \alpha >0 $$
Auriez vous une piste svp ?
Merci à vous

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Re: Somme de Riemann ?

Message par Hypophysaire » 10 avr. 2019 13:43

Une comparaison série/intégrale devrait fonctionner

Edit: Oublie ce que j'ai dit pardon :oops:
Modifié en dernier par Hypophysaire le 10 avr. 2019 18:53, modifié 4 fois.

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Re: Somme de Riemann ?

Message par noro » 10 avr. 2019 14:59

prepamath a écrit :
10 avr. 2019 11:24
Bonjour,
Voici mon nouveau sujet de préocupation :
Déterminer la limite de :
$$ \sum_{k=0}^n(1-\frac{k}{n})^{n\alpha} $$ avec $$ \alpha >0 $$
Auriez vous une piste svp ?
Merci à vous
Bonjour,
Pour répondre au titre ça ne ressemble pas à une somme de Riemann.
Voici une piste pour toi :
Déjà montrer que $$ (1-\frac{k}{n})^{n\alpha} $$ tant quand n tant vers l'infini vers $$ e^{-k\alpha} $$ de manière croissante.
Ensuite tu peux remarquer que :
$$ \sum_{k=0}^n(1-\frac{k}{n})^{n\alpha}=\sum_{k=0}^{+\infty}(1-\frac{k}{n})^{n\alpha}\times\mathbb{1}_{[0,n]}(k) $$

Si tu as besoin de plus d'indications n'hésite pas.
Nothing happened.
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Re: Somme de Riemann ?

Message par noro » 10 avr. 2019 21:50

Dattier a écrit :
10 avr. 2019 19:35
Bonjour,

@Noro : que dire du cas $ k\geq E(n/2) $ ?

Bonne journée.
Je n'ai pas compris votre question...
Nothing happened.
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Re: Somme de Riemann ?

Message par noro » 10 avr. 2019 22:08

Dattier a écrit :
10 avr. 2019 22:04
noro a écrit :
10 avr. 2019 14:59
Déjà montrer que $ (1-\frac{k}{n})^{n\alpha} $ tant quand n tant vers l'infini vers $ e^{-k\alpha} $ de manière croissante.
Il me semble que cela ne marche pas pour $ k $ "grand", par exemple : $ k\geq n/2 $
k est fixé quand on fait tendre n vers l'infini, je ne l'ai pas précisé mais ça me semblait évident car la limite dépends de k.
Nothing happened.
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Re: Somme de Riemann ?

Message par matmeca_mcf1 » 10 avr. 2019 23:13

Je confirme que l'idée de Noro fonctionne parfaitement et qu'il suffit de regarder la convergence à $ k $ fixé. C'est la simple application du théorème de convergence dominée aux séries avec la mesure de comptage. D'ailleurs, dans le cas particulier des séries, le théorème de convergence dominée se démontre facilement.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Somme de Riemann ?

Message par noro » 10 avr. 2019 23:48

matmeca_mcf1 a écrit :
10 avr. 2019 23:13
Je confirme que l'idée de Noro fonctionne parfaitement et qu'il suffit de regarder la convergence à $ k $ fixé. C'est la simple application du théorème de convergence dominée aux séries avec la mesure de comptage. D'ailleurs, dans le cas particulier des séries, le théorème de convergence dominée se démontre facilement.
En l'occurrence je pensais à la convergence monotone, qui je crois, se démontre encore plus simplement dans le cas des série, en écrivant la suite croissante comme une somme télescopique puis en permutant les deux signes somme.
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Re: Somme de Riemann ?

Message par oty20 » 11 avr. 2019 15:27

https://artofproblemsolving.com/communi ... 6p10775255 , l"estimation marche aussi au lieu de multiplier par $ n $ , multiplier par $ n\alpha $.....

Ce qui a été proposé par noro est meilleur.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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