Système différentiel

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Système différentiel

Message par FcBayern » 22 avr. 2019 12:48

Bonjour !

Alors voilà j'ai un dm de maths et j'en suis arrivé à cette question que je ne sais pas traiter, car on a du voir cela peut-être 1 ou 2 fois seulement en cours, et j'avoue ne plus m'en rappeler. Je précise que la matrice associée au système est diagonalisable (je crois que ça a une importance pour la résolution).

Merci de me donner des pistes !

x'(t) = 3x(t) - 5y(t) + 2z(t)
y'(t) = 2x(t) - 4y(t) + 2z(t)
z'(t) = -x(t) + y(t)

En posant X(t) = (x(t), y(t), z(t)), résoudre le système.

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Re: Système différentiel

Message par Benfrida » 22 avr. 2019 15:20

Salut
Tu es en face d'un système différentiel linéaire du 1er ordre sans second membre et à coefficients constants.

La méthode de résolution est dans ton cours : tu dois commencer par diagonaliser la matrice A associée au système, puis déterminer la base de vecteurs propres associés aux valeurs propres (autrement dit les matrices P et D tel que A = PDP^(-1)).
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Re: Système différentiel

Message par FcBayern » 22 avr. 2019 16:26

Merci, j'ai déjà les matrices P et D, mais je ne sais pas quoi faire ensuite

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Re: Système différentiel

Message par Benfrida » 22 avr. 2019 16:44

Je te propose ce lien qui devrait répondre à toutes tes questions sur la résolution des systèmes linéaires : http://c.caignaert.free.fr/chapitre20.pdf
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Re: Système différentiel

Message par BobbyJoe » 23 avr. 2019 08:35

Une méthode "efficace" si tu ne veux pas diagonaliser/trigonaliser complètement est de trouver le spectre de ta matrice (de trancher si elle est diagonalisable ou pas).
Tu connais alors la forme des solutions.
Il ne reste plus qu'à déterminer les paramètres en réinjectant dans le système différentiel initial, en résolvant un système linéaire ( et en utilisant la liberté d'une certaine famille de fonctions).

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alm

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Re: Système différentiel

Message par alm » 24 avr. 2019 19:07

FcBayern a écrit :
22 avr. 2019 16:26
Merci, j'ai déjà les matrices P et D, mais je ne sais pas quoi faire ensuite
Si $ A $ est diagonalisable et $ \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 $ sont ses trois valeurs propres non forcément égales et $ V_1,V_2,V_3 $ des vecteurs propres respectifs associés alors la solution générale du système différentielle en question est :$ f(t)=\alpha_1 \exp(\lambda_1 t) V_1 + \alpha_2 \exp(\lambda_2 t) V_2 + \alpha_3 \exp(\lambda_3 t) V_3 $ avec $ (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \in \mathbb R^3 $.
Ton cours devrait mentionner cette chose en principe.

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