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Polynôme & racines simples

Posté : 26 avr. 2019 16:02
par Robinoub
Bonjour,

Je souhaiterais : « Montrer que X^n - X + 1 admet n racines simples dans C. »

Pourriez-vous m’apporter des éléments afin de mener à bien la démonstration ? (niveau MPSI)

Re: Polynôme & racines simples

Posté : 26 avr. 2019 16:05
par Nabuco
Robinoub a écrit :
26 avr. 2019 16:02
Bonjour,

Je souhaiterais : « Montrer que X^n - X + 1 admet n racines simples dans C. »

Pourriez-vous m’apporter des éléments afin de mener à bien la démonstration ? (niveau MPSI)
Soit z une racine de P
Comment relier la notation z est une racine simple de P avec P'(z) ? Ensuite il suffit d appliquer cela dans ce cas là

Re: Polynôme & racines simples

Posté : 26 avr. 2019 16:40
par Robinoub
Nabuco a écrit :
26 avr. 2019 16:05
Soit z une racine de P
Comment relier la notation z est une racine simple de P avec P'(z) ? Ensuite il suffit d appliquer cela dans ce cas là
z est une racine simple de P si elle n’est pas racine de P’ c’est à dire si P’(z) est différent de 0.

S’agirait-il de raisonner par l’absurde en supposant que z est une racine double et en montrant que le z qu’on obtient à partir des équations P(z) = 0 et P’(z) = 0 est absurde (où P = X^n - X + 1) ?

Enfin, ceci répondrait au fait que P n’a que des racines simples mais ne permettrait pas de justifier le fait que P admet autant de racines que son degré. :?:

Merci.

Re: Polynôme & racines simples

Posté : 26 avr. 2019 16:44
par Chronoxx
Robinoub a écrit :
26 avr. 2019 16:40
Enfin, ceci répondrait au fait que P n’a que des racines simples mais ne permettrait pas de justifier le fait que P admet autant de racines que son degré. :?:
Dans $\mathbb{C}$, c'est le cas (théorème de d'Alembert-Gauss).

Re: Polynôme & racines simples

Posté : 26 avr. 2019 16:49
par Robinoub
Chronoxx a écrit :
26 avr. 2019 16:44
Dans $\mathbb{C}$, c'est le cas (théorème de d'Alembert-Gauss).
Ah oui, vous avez raison, merci ! :D

Re: Polynôme & racines simples

Posté : 26 avr. 2019 18:16
par Robinoub
Re-bonjour,

J’ai donc raisonné par l’absurde en supposant qu’il existait une racine double notée a.

On a alors :
a^n - a + 1 = 0 et na^(n-1) - 1 = 0

En utilisant la deuxième relation, on obtient : a^(n-1) = 1/n (n est différent de 0 par définition)

Puis en utilisant ce résultat dans la première équation, on obtient :
a/n - a + 1 = 0 soit : a = n/(n-1)

Mais comment conclure que ce résultat est absurde ?

Re: Polynôme & racines simples

Posté : 26 avr. 2019 18:17
par Nabuco
Robinoub a écrit :
26 avr. 2019 18:16
Re-bonjour,

J’ai donc raisonné par l’absurde en supposant qu’il existait une racine double notée a.

On a alors :
a^n - a + 1 = 0 et na^(n-1) - 1 = 0

En utilisant la deuxième relation, on obtient : a^(n-1) = 1/n

Puis en utilisant ce résultat dans la première équation, on obtient :
a/n - a + 1 = 0 soit : a = n/(n-1)

Mais comment conclure que ce résultat est absurde ?
C est possible d avoir a^n-1 =1/n et a vaut n/n-1 ?

Re: Polynôme & racines simples

Posté : 26 avr. 2019 18:29
par Robinoub
Nabuco a écrit :
26 avr. 2019 18:17
C est possible d avoir a^n-1 =1/n et a vaut n/n-1 ?
L’absurdité viendrait donc de là... :o

Non je ne pense pas puisque si on avait ceci, on aurait alors : n^n = (n-1)^(n-1) ce qui est toujours faux dans N\{0,1} (la définition de n). Merci !

Cet exercice conduisait en fait au calcul d’un déterminant matriciel qui utilisait les racines du polynôme précédent, il fallait néanmoins justifier leur existence dans la première question (ce qui n’était pas très compliqué je l’avoue).