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Actions de groupe

Posté : 05 mai 2019 14:02
par Naelvicoz
Bonjour,

Je suis en MPSI et notre professeur nous a fait un peu de hors-programme sur les actions de groupe. On a aussi eu un devoir sur ça et on l'a un peu utilisé en TD mais j'aimerais bien maintenant des exercices (plutôt qu'un long problème), pas forcément difficiles, sur le sujet, ou des petites questions, pour que je m'habitue au concept que je trouve intéressant. Vu que c'était apparemment avant au programme, auriez-vous par exemple un recueil des exercices autrefois posés sur le sujet, par exemple aux concours ? Parce que sur Internet je trouve pas beaucoup de choses en dehors de ce qui est donné en L3 ou à l'agrégation.

Re: Actions de groupe

Posté : 05 mai 2019 16:48
par Nabuco
Naelvicoz a écrit :
05 mai 2019 14:02
Bonjour,

Je suis en MPSI et notre professeur nous a fait un peu de hors-programme sur les actions de groupe. On a aussi eu un devoir sur ça et on l'a un peu utilisé en TD mais j'aimerais bien maintenant des exercices (plutôt qu'un long problème), pas forcément difficiles, sur le sujet, ou des petites questions, pour que je m'habitue au concept que je trouve intéressant. Vu que c'était apparemment avant au programme, auriez-vous par exemple un recueil des exercices autrefois posés sur le sujet, par exemple aux concours ? Parce que sur Internet je trouve pas beaucoup de choses en dehors de ce qui est donné en L3 ou à l'agrégation.
Les actions de groupe étant plutôt au programme de L3 c est normal de ne pas trouver tellement plus facile. Éventuellement, tu peux regarder quelques exos des Cassini qui en font usage.

Re: Actions de groupe

Posté : 05 mai 2019 17:38
par GrosGillouDu92
Il me semble que si ça a été au programme, ça ne l'est plus depuis au moins 1987.

Même en regardant dans des vieux trucs tels que Gourdon ou Ramis-Deschamps-Odoux, on ne trouve pas grand chose. Je ne pense pas qu'il y ait beaucoup de matière au niveau prépa.

Re: Actions de groupe

Posté : 05 mai 2019 18:22
par Mathoss
T'as un problème d'Alain Troesch permettant d'explorer les bases des actions de groupe.
T'as des applications de tout ordre je pense.
Déjà, tu peux essayer de voir par exemple pourquoi tout groupe fini de cardinal n est isomorphe à un sous-groupe de Sn en utilisant les actions de groupe.
Vous avez sûrement dû voir l'équation aux classes dans votre devoir (sinon, c'est intéressant de l'établir), il en découle des résultats sympa en poussant un peu : lemme de Cauchy, existence de p-Sylow.
Le Gourdon est assez complet pour les rudiments.

Re: Actions de groupe

Posté : 05 mai 2019 18:31
par JeanN
Tout groupe d’ordre p^2 avec p premier est commutatif.

Re: Actions de groupe

Posté : 05 mai 2019 20:10
par GrosGillouDu92
Il y aussi des choses dans la partie vocabulaire mathématique du Colmez, chapitre 2.11.1

https://webusers.imj-prg.fr/~pierre.colmez/livre.pdf

Re: Actions de groupe

Posté : 05 mai 2019 22:57
par matmeca_mcf1
L'exercice le plus «facile» dont je me souveigne, (c'est plus un résultat de cours qu'un exercice) c'est d'utiliser les actions de groupes pour montrer que le centre (l'ensemble des éléments d'un groupe qui commute avec tous les autres éléments de ce groupe) d'un groupe de cardinal $ p^r $ (avec p premier) est non trivial (ie différent du singleton élément neutre).

Re: Actions de groupe

Posté : 06 mai 2019 22:19
par Naelvicoz
Merci ça me donne des pistes !

Re: Actions de groupe

Posté : 15 mai 2019 09:03
par kakille
Déjà, tu peux essayer de voir par exemple pourquoi tout groupe fini de cardinal n est isomorphe à un sous-groupe de Sn en utilisant les actions de groupe.
Du moins, je ne vois pas ce que cette notion apporte ici pour établir ce résultat. C'est à peu près évident sans parler d'action de groupe, non ?

Re: Actions de groupe

Posté : 15 mai 2019 10:35
par Zak_
C'est pas si evident que ça. Ton plongement c'est une action en fait dans notre cas.