Projection orthogonale.

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
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Projection orthogonale.

Message par jeda » 16 mai 2019 17:41

Bonjour

Je sollicite votre aide concernant un exo de math sup sur la projection orthogonale.

Soit E un espace euclidien. Soit p une projection.
Montrer que p est une projection orthogonale si et seulement si pour tout x de E
||p(x)|| $ \leq $ x

J'ai raisonné par double équivalence et j'ai montré que si p est une projection orthogonale alors on a bien l'inégalité.
Concernant le sens indirect je suis bloqué je n'arrive même pas à démarrer.

Si quelqu'un pourrait m'éclairer pour la démonstration dans le sens indirect.

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Re: Projection orthogonale.

Message par Skizzy » 16 mai 2019 18:31

Hello,

L'astuce est la même que celle de la démo de Cauchy-Schwarz.

Considère $ x \in Im(p) $ et $ y \in ker(p) $ et $ \lambda \in \mathbb{R} $.
Calcule $ || p(\lambda x + y) ||^2 $ et utilises l'hypothèse pour montrer que $ Im(p) $ et $ ker(p) $ sont orthogonaux.
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Re: Projection orthogonale.

Message par JeanN » 16 mai 2019 23:05

Sinon, tu peux prendre x dans l'orthogonal de Ker(p), vérifier que x et p(x)-x sont orthogonaux, appliquer le théorème de Pythagore et en déduire que l'orthogonal de Ker(p) est inclus dans Im(p).
Comme tu as déclaré que E était euclidien, tu peux conclure avec les dimensions.
La méthode proposée ci-dessus a le mérite de ne pas exploiter la dimension finie.
Professeur de maths MPSI Lycée Sainte-Geneviève

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Re: Projection orthogonale.

Message par jeda » 16 mai 2019 23:10

Merci beaucoup pour votre réponse et j'ai réussi à prouver cette équivalence. Cependant je voulais savoir comment on pense à cette astuce qui consiste à introduire λ ? Surtout que λ joue un rôle essentiel dans la demo.

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Re: Projection orthogonale.

Message par Nabuco » 16 mai 2019 23:24

jeda a écrit :
16 mai 2019 23:10
Merci beaucoup pour votre réponse et j'ai réussi à prouver cette équivalence. Cependant je voulais savoir comment on pense à cette astuce qui consiste à introduire λ ? Surtout que λ joue un rôle essentiel dans la demo.
C est assez classique de faire des techniques de Dl en euclidien en gros de regarder ce que fait une égalité ou inrgalite si au lieu de l appliquer en x on l applique en x+ty. Le terme en t dans le dl sera souvent nul s il y a de bonnes conditions

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Re: Projection orthogonale.

Message par LuckmannTheLook » 21 mai 2019 10:46

jeda a écrit :
16 mai 2019 23:10
Merci beaucoup pour votre réponse et j'ai réussi à prouver cette équivalence. Cependant je voulais savoir comment on pense à cette astuce qui consiste à introduire λ ? Surtout que λ joue un rôle essentiel dans la demo.
En effet, cette méthode variationnelle est assez classique (on introduit une variable continue $\lambda$) : tu l'as forcément déjà rencontrée dans ton cours, au moins pour la démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz :wink:

Une autre façon plus géométrique de procéder pour le sens indirect est de raisonner par contraposée : dessin à l'appui, on peut intuiter que si $p$ est un projecteur qui n'est pas un projecteur orthogonal, il existe un $x$ bien choisi qui mette en défaut l'inégalité. Pour s'en convaincre on pourra représenter dans le plan $F=\mathrm{Im} \, p$, $G=\mathrm{Ker} \, p$ et... $G^{\perp}$.
2013-2015 : MPSI-MP*, Lycée Henri IV
X2015

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