Équations différentielles non linéaires (2nd ordre)

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Équations différentielles non linéaires (2nd ordre)

Message par AchilleTalon » 18 mai 2019 21:43

Bonjour,

je travaille actuellement sur la mission IKAROS : Un satellite utilisant la pression photonique (pression exercée par les photons du soleil) pour garder son orbite autour du soleil.

Physiquement, j'arrive cependant à un jeu d'équations que je n'arrive pas à résoudre :

https://image.noelshack.com/fichiers/20 ... ations.jpg

Il s'agit d'équations non linéaires couplées (je crois), si quelqu'un saurait les résoudre, ou encore mieux, pourrait me donner des indications pour tracer cela sur Python (Si j'arrive à obtenir le profil de l'angle théta et de la distance satellite-soleil, r, en fonction du temps, je pourrais sûrement me débrouiller pour tracer la trajectoire du satellite)
Je précise que les seules inconnues sont la distance r (satellite-soleil) et l'angle théta.

Tous les commentaires constructifs me seraient sûrement d'une grande aide alors merci d'avance aux matheux qui pourront m'aider !
Clem

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Re: Équations différentielles non linéaires (2nd ordre)

Message par matmeca_mcf1 » 18 mai 2019 22:00

Avez-vous essayer des schémas numériques pour résoudre numériquement le système d'EDO?
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Équations différentielles non linéaires (2nd ordre)

Message par AchilleTalon » 18 mai 2019 22:13

matmeca_mcf1 a écrit :
18 mai 2019 22:00
Avez-vous essayer des schémas numériques pour résoudre numériquement le système d'EDO?
Je ne connais pas le système EDO, cependant, je connais les algorithmes d'Euler pour la résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 1/2.
Auriez vous une idée d'algorithme Python pouvant venir à bout de ces équations ?

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Re: Équations différentielles non linéaires (2nd ordre)

Message par matmeca_mcf1 » 18 mai 2019 23:32

EDO = équations différentielles ordinaires. Pour de la mécanique céleste, Euler va donner des résultats non satisfaisants. Avec Euler explicite, toutes les planètes quittent le système solaire. Avec Euler implicite, toutes les planètes s'écrasent dans le Soleil.

Essayez RK4: ce ne sera pas très satisfaisant pour des temps longs (plusieurs milliers de révolutions) mais cela restera raisonnablement précis aux temps courts. Pour de la mécanique céleste, il faudrait utiliser des méthodes symplectiques. Vous pouvez essayer Störmer-Verlet. Ce sera moins précis au temps court mais plus stable sur les temps longs.
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Re: Équations différentielles non linéaires (2nd ordre)

Message par AchilleTalon » 19 mai 2019 11:31

matmeca_mcf1 a écrit :
18 mai 2019 23:32
EDO = équations différentielles ordinaires. Pour de la mécanique céleste, Euler va donner des résultats non satisfaisants. Avec Euler explicite, toutes les planètes quittent le système solaire. Avec Euler implicite, toutes les planètes s'écrasent dans le Soleil.

Essayez RK4: ce ne sera pas très satisfaisant pour des temps longs (plusieurs milliers de révolutions) mais cela restera raisonnablement précis aux temps courts. Pour de la mécanique céleste, il faudrait utiliser des méthodes symplectiques. Vous pouvez essayer Störmer-Verlet. Ce sera moins précis au temps court mais plus stable sur les temps longs.
Merci beaucoup, il me semble effectivement que RK4 est adaptée, je cherche activement comment l'implémenter sur Maple si quelqu'un à des conseils (c'est hors programme CPGE) !
Edit : j'ai trouvé effectivement des choses intéressantes sur Stormer-Verlet, cependant, le fait que mes équations soient couplées me pose problème...

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Re: Équations différentielles non linéaires (2nd ordre)

Message par matmeca_mcf1 » 19 mai 2019 14:31

Ne faites pas du numérique avec Maple. Maple est un logiciel de calcul symbolique. Faites le en python avec numpy, ou en octave ou en C/fortran.
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