RMS 82 : composantes connexes par arcs associées à une forme quadratique

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RMS 82 : composantes connexes par arcs associées à une forme quadratique

Message par AlbanBert » 30 mai 2019 17:28

Bonjour, je planche sur l’exercice suivant :
$ q:(x,y,z)\longmapsto x^2+y^2-z^2, ~~G=\{f\in\mathcal L(\mathbb R^3),~q\circ f=q\} $
Aucun problème pour la première question (G est un groupe). La deuxième me demande de déterminer l’ensemble des composantes connexes par arcs de G. Après avoir séché je suis allé consulté le corrigé proposé par la RMS mais la réponse me semble être une suite d’ensembles et de matrices complètement parachutées. Pour ce genre d’exercice comment a-t-on l’intuition des bons ensembles à poser et dans ce cas particulier comment constate-t-on qu’à partir notamment de $ \begin{pmatrix} ch t & 0& sh t\\ 0&1&0\\sh t& 0&ch t \end{pmatrix} $ on peut construire un chemin et prouver la connexité ?
Merci de votre aide.

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dSP

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Re: RMS 82 : composantes connexes par arcs associées à une forme quadratique

Message par dSP » 30 mai 2019 18:18

J'ai bien peur qu'on n'ait ce genre d'intuition qu'à condition de connaître la théorie qu'il y a derrière
(celle de la norme spinorielle dans un groupe orthogonal). C'est par exemple traité dans mon bouquin sur les formes quadratiques (chapitre 22).

Bref, un "exercice" qui n'a rien à faire à un concours niveau CPGE.
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Re: RMS 82 : composantes connexes par arcs associées à une forme quadratique

Message par AlbanBert » 30 mai 2019 19:39

C’est rassurant, merci beaucoup pour cette réponse !

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Re: RMS 82 : composantes connexes par arcs associées à une forme quadratique

Message par Ramufasa » 30 mai 2019 21:36

Dans le corrigé que tu as, comment utilise-t-on la matrice que tu donnes pour montrer la connexité ?

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Re: RMS 82 : composantes connexes par arcs associées à une forme quadratique

Message par AlbanBert » 31 mai 2019 08:48

On étudie la connexité par arc de $ G^{++}=\{f\in G~|~f(H^+)=H^+ ~\text{et}~\det f =1\} $ où $ H^+=\{(\cos\theta\sinh\tau,\sin\theta\sinh\tau,\cosh\tau)~|~(\theta,\tau)\in\mathbb R²\} $
Donc on associe à la variable $ \theta $ la matrice de rotation habituelle $ R(\theta) $ et à $ \tau $ la matrice $ B(\tau)=\begin{pmatrix}\cosh \tau&0&\sinh\tau\\0&1&0\\\sinh\tau&0&\cosh\tau\end{pmatrix} $
SPOILER:
Après avoir remarquer que $ M\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\in H^+ $ on peut écrire $ \exists(\theta,\tau)~;~M\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=R(\theta)B(\tau)\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} $.
Ensuite $ N=B(\tau)^{-1}R(\theta)^{-1}M\in G^{++} $ et donc $ \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} $ est vecteur propre associé à la valeur propre 1. On peut donc factoriser $ N $ sous la forme $ N=\begin{pmatrix}U&0\\^tV&1\end{pmatrix} $ avec $ U\in\text{SO}_2(\mathbb R) $ et $ V=0~~(^tNDN=D) $. On a donc une nouvelle matrice de rotation ($ \phi $ l'angle associé) et $ \gamma~:~t~\longmapsto~R(t\theta)B(t\tau)R(t\phi) $ prouve la connexité par arc.

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