RMS 82 : composantes connexes par arcs associées à une forme quadratique
RMS 82 : composantes connexes par arcs associées à une forme quadratique
Bonjour, je planche sur l’exercice suivant :
$ q:(x,y,z)\longmapsto x^2+y^2-z^2, ~~G=\{f\in\mathcal L(\mathbb R^3),~q\circ f=q\} $
Aucun problème pour la première question (G est un groupe). La deuxième me demande de déterminer l’ensemble des composantes connexes par arcs de G. Après avoir séché je suis allé consulté le corrigé proposé par la RMS mais la réponse me semble être une suite d’ensembles et de matrices complètement parachutées. Pour ce genre d’exercice comment a-t-on l’intuition des bons ensembles à poser et dans ce cas particulier comment constate-t-on qu’à partir notamment de $ \begin{pmatrix} ch t & 0& sh t\\ 0&1&0\\sh t& 0&ch t \end{pmatrix} $ on peut construire un chemin et prouver la connexité ?
Merci de votre aide.
$ q:(x,y,z)\longmapsto x^2+y^2-z^2, ~~G=\{f\in\mathcal L(\mathbb R^3),~q\circ f=q\} $
Aucun problème pour la première question (G est un groupe). La deuxième me demande de déterminer l’ensemble des composantes connexes par arcs de G. Après avoir séché je suis allé consulté le corrigé proposé par la RMS mais la réponse me semble être une suite d’ensembles et de matrices complètement parachutées. Pour ce genre d’exercice comment a-t-on l’intuition des bons ensembles à poser et dans ce cas particulier comment constate-t-on qu’à partir notamment de $ \begin{pmatrix} ch t & 0& sh t\\ 0&1&0\\sh t& 0&ch t \end{pmatrix} $ on peut construire un chemin et prouver la connexité ?
Merci de votre aide.
Re: RMS 82 : composantes connexes par arcs associées à une forme quadratique
J'ai bien peur qu'on n'ait ce genre d'intuition qu'à condition de connaître la théorie qu'il y a derrière
(celle de la norme spinorielle dans un groupe orthogonal). C'est par exemple traité dans mon bouquin sur les formes quadratiques (chapitre 22).
Bref, un "exercice" qui n'a rien à faire à un concours niveau CPGE.
(celle de la norme spinorielle dans un groupe orthogonal). C'est par exemple traité dans mon bouquin sur les formes quadratiques (chapitre 22).
Bref, un "exercice" qui n'a rien à faire à un concours niveau CPGE.
Professeur de Mathématiques en MP*/MPI* au lycée Hoche
Re: RMS 82 : composantes connexes par arcs associées à une forme quadratique
C’est rassurant, merci beaucoup pour cette réponse !
Re: RMS 82 : composantes connexes par arcs associées à une forme quadratique
Dans le corrigé que tu as, comment utilise-t-on la matrice que tu donnes pour montrer la connexité ?
Re: RMS 82 : composantes connexes par arcs associées à une forme quadratique
On étudie la connexité par arc de $ G^{++}=\{f\in G~|~f(H^+)=H^+ ~\text{et}~\det f =1\} $ où $ H^+=\{(\cos\theta\sinh\tau,\sin\theta\sinh\tau,\cosh\tau)~|~(\theta,\tau)\in\mathbb R²\} $
Donc on associe à la variable $ \theta $ la matrice de rotation habituelle $ R(\theta) $ et à $ \tau $ la matrice $ B(\tau)=\begin{pmatrix}\cosh \tau&0&\sinh\tau\\0&1&0\\\sinh\tau&0&\cosh\tau\end{pmatrix} $
Donc on associe à la variable $ \theta $ la matrice de rotation habituelle $ R(\theta) $ et à $ \tau $ la matrice $ B(\tau)=\begin{pmatrix}\cosh \tau&0&\sinh\tau\\0&1&0\\\sinh\tau&0&\cosh\tau\end{pmatrix} $
SPOILER: