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Salut .Si f une fonction de classe c1 de R+ vers R et si on a f et (f')^2 (carré de la derivée de f ) integrable comment montrer que limf(+00)=0.
Merci.

Tu es sûr que ce résultat est vrai ? On peut construire une fonction f positive intégrable et de carré integrable qui ne converge pas vers 0 : faire des pics de hauteur 1 et d'aire 1/n^2.

Ce n'est pas vrai... Il suffit de prendre une séries de fonctions $ $$\displaystyle \sum_{n\geq 1} f_{n}$ où pour $ $$n\geq 1,$ les fonctions $ $$f_{n}$ sont des indicatrices de triangle isocèle dont le sommet principal a pour coordonées $ $$(n,n)$ et la base du triangle est de longueur $ $$\displaystyle \frac{1}{n^{4}}.$

Errys a écrit : ↑

02 juin 2019 22:23

Tu es sûr que ce résultat est vrai ? On peut construire une fonction f positive intégrable et de carré integrable qui ne converge pas vers 0 : faire des pics de hauteur 1 et d'aire 1/n^2.

j'ai ecrit que le carré de sa derivée et integrable mais c'etait pas assez clair je crois.

Mosalahmoh a écrit : ↑

02 juin 2019 22:50

Errys a écrit : ↑

02 juin 2019 22:23

Tu es sûr que ce résultat est vrai ? On peut construire une fonction f positive intégrable et de carré integrable qui ne converge pas vers 0 : faire des pics de hauteur 1 et d'aire 1/n^2.

j'ai ecrit que le carré de sa derivée et integrable mais c'etait assez clair je crois.

Tu avais dû faire une erreur d'énoncé, non ? Ca me parait assez clair je crois.

Bonjour,
Une modification possible des hypothèses pour pouvoir conclure est par exemple de supposer non pas $f$ intégrable, mais $f^2$ intégrable.

Mosalahmoh a écrit : ↑

02 juin 2019 22:20

Salut .Si f une fonction de classe c1 de R+ vers R et si on a f et (f')^2 (carré de la derivée de f ) integrable comment montrer que limf(+00)=0.
Merci.

Pose F une primitive de f, écrit un Taylor reste intégrale entre x+h et x puis applique Cauchy Schwarz pour majorer l’integrale et ensuite , termine le travail avec des epsilons.

Mosalahmoh a écrit : ↑

02 juin 2019 22:20

Salut .Si f une fonction de classe c1 de R+ vers R et si on a f et (f')^2 (carré de la derivée de f ) integrable comment montrer que limf(+00)=0.
Merci.

Cela rappelle les espaces de Sobolev (très largement hors-programmes en prépa).

LuckmannTheLook a écrit : ↑

04 juin 2019 10:41

Bonjour,
Une modification possible des hypothèses pour pouvoir conclure est par exemple de supposer non pas $f$ intégrable, mais $f^2$ intégrable.

L'énoncé est correct avec les hypothèses suivantes (en cas de futures modifications)

- f c1, intégrable
- sa dérivée est de carré intégrable

Conclusion: f tend vers 0 en +infini

JeanN a écrit : ↑

04 juin 2019 19:09

LuckmannTheLook a écrit : ↑

04 juin 2019 10:41

Bonjour,
Une modification possible des hypothèses pour pouvoir conclure est par exemple de supposer non pas $f$ intégrable, mais $f^2$ intégrable.

L'énoncé est correct avec les hypothèses suivantes (en cas de futures modifications)

- f c1, intégrable
- sa dérivée est de carré intégrable

Conclusion: f tend vers 0 en +infini

Autant pour moi, le Taylor fonctionne bien en effet et permet de conclure sans modifier les hypothèses !