Toute matrice orthogonale est-elle la matrice dans une base d'une isométrie vectorielle ?

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Toute matrice orthogonale est-elle la matrice dans une base d'une isométrie vectorielle ?

Message par AdPouf » 13 juin 2019 22:02

Bonjour, je me demande si, quelle que soit la dimension de l'espace euclidien, toute matrice orthogonale est la matrice dans une base d'une isométrie vectorielle.
(Le résultat est vrai en dim 2)

Je vous remercie d'avance pour le temps accordé à me donner une réponse,
AdPouf

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Re: Toute matrice orthogonale est-elle la matrice dans une base d'une isométrie vectorielle ?

Message par Nabuco » 13 juin 2019 22:11

AdPouf a écrit :
13 juin 2019 22:02
Bonjour, je me demande si, quelle que soit la dimension de l'espace euclidien, toute matrice orthogonale est la matrice dans une base d'une isométrie vectorielle.
(Le résultat est vrai en dim 2)

Je vous remercie d'avance pour le temps accordé à me donner une réponse,
AdPouf
Dans tous les cas une matrice orthogonale conserve la norme car la norme de AX au carré est t(AX)AX=tX (tA A)X=tX X soit la norme de X au carré, c'est donc une isométrie vectorielle, j'ai du mal à comprendre la question si je ne m'abuse c'est une des premières propriétés.

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Re: Toute matrice orthogonale est-elle la matrice dans une base d'une isométrie vectorielle ?

Message par btsix » 13 juin 2019 23:29

Dans une base orthonormale même. Cf cours de MP/PC/PSI/PT/BCPST.
Le progamme préconise d'ailleurs de définir les matrices orthogonales par cette propriété.

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Re: Toute matrice orthogonale est-elle la matrice dans une base d'une isométrie vectorielle ?

Message par JeanN » 14 juin 2019 00:10

btsix a écrit :
13 juin 2019 23:29
Dans une base orthonormale même. Cf cours de MP/PC/PSI/PT/BCPST.
Le progamme préconise d'ailleurs de définir les matrices orthogonales par cette propriété.
En mpsi, le programme (et le bon sens me semble-t-il) préconise plutôt de définir les matrices orthogonales par la propriété A^T A=I_n
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève

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Re: Toute matrice orthogonale est-elle la matrice dans une base d'une isométrie vectorielle ?

Message par btsix » 14 juin 2019 00:34

Ha, j'avais oublié que c'était déjà vu en MPSI. Au temps pour moi.

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Re: Toute matrice orthogonale est-elle la matrice dans une base d'une isométrie vectorielle ?

Message par AdPouf » 24 juin 2019 21:33

Oui effectivement c'est vrai merci beaucoup.

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