Intégrabilité sur R -> borné ?

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Intégrabilité sur R -> borné ?

Message par prepamath » 18 juin 2019 16:15

Bonjour,
Est-ce qu'une fonction intégrable sur R est nécessairement bornée sur R ?
Merci à vous,

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Re: Intégrabilité sur R -> borné ?

Message par Nabuco » 18 juin 2019 16:36

prepamath a écrit :
18 juin 2019 16:15
Bonjour,
Est-ce qu'une fonction intégrable sur R est nécessairement bornée sur R ?
Merci à vous,
Non, aucune raison, prend une fonction f affine par morceau vérifiant pour n>2 f(n)=0, f(n+ 2^(1-n))=0 et f(n+ 2^(-n))=n.
L'intégrable correspondra à l'aire sous la courbe, le n-ième triangle aura une aire de n* 2^(-n). La série de terme général n*2^(-n) convergeant, l'intégrale converge aussi.

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Re: Intégrabilité sur R -> borné ?

Message par Zak_ » 18 juin 2019 17:38

Sinon un contre exemple un peu plus tordu :
$ f(x) = \frac{x}{1+x^5\sin^2(x)} $ est intégrable sur $ \mathbb{R}_+ $, $ \mathcal{C}^\infty $ non borné et de dérivée non bornée. Donc même en rajoutant des hypothèses de continuité t'as aucune raison que ça soit borné. Par contre t'as certaines hypothèses qui marchent : si c'est uniformément continu alors la limite est nulle en $ +\infty $, si c'est décroissant aussi ça marche. Après ce sera pas forcément borné, mais ça sera borné pour un voisinage de $ +\infty $.

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Re: Intégrabilité sur R -> borné ?

Message par oty20 » 20 juin 2019 04:51

Nabuco a écrit :
18 juin 2019 16:36
Non, aucune raison, prend une fonction f affine par morceau vérifiant pour n>2 f(n)=0, f(n+ 2^(1-n))=0 et f(n+ 2^(-n))=n.
L'intégrable correspondra à l'aire sous la courbe, le n-ième triangle aura une aire de n* 2^(-n). La série de terme général n*2^(-n) convergeant, l'intégrale converge aussi.
C'est fou comme ce genre de construction devient naturelle et évident quand on étudie l'intégration au sens de Lebesgue.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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