Exo X ( suite )

[V@J]

Bonjour,
Je ne parviens vraiment pas à résoudre cet exercice :
Soit u suite des réels strictement positifs, tel que $$ \frac{1}{n}\sum_{\ell=1}^nu_{\ell} \rightarrow + \infty $$,
Montrer que $$ \frac{1}{n^2}\sum_{\ell=1}^n \ell u_{\ell} \rightarrow + \infty $$
Concernant mes pistes de travail, j'ai essentiellement essayé une transformation d'Abel pour abaisser le l mais sans réussite...
Avez vous des pistes svp ?

Bonjour,
Cet énoncé est faux. Voici un contre-exemple :


Tu prends $ u_n = 2^k k $ si $ 2^{k^2} < n \leqslant 2^{k^2+k} $ et $ u_n = 0 $ si $ 2^{k^2+k} < n \leqslant 2^{(k+1)^2} $ (ou si $ n = 1 $). Alors, en posant $ S_n = \sum_{\ell=1}^n u_\ell $ et $ T_n = \sum_{\ell=1}^n \ell u_\ell $, alors on remarque que la suite $ S_n/n $ croît sur chaque intervalle $ \{2^{k^2},\ldots,2^{k^2+k}\} $ et décroît sur chaque intervalle
$ \{2^{k^2+k},\ldots,2^{(k+1)^2}\} $. Puisque $ S_{2^{(k+1)^2}} \geqslant (2^{k^2+k}-2^{k^2}) 2^k k = 2^{(k+1)^2} (k/2+o(1)) $, la suite $ S_n/n $ tend bien vers $ +\infty $.
Par ailleurs, on a clairement $ T_{2^{(k+1)^2}} = \sum_{\ell=1}^{2^{k^2+k}} \ell u_\ell \leqslant \sum_{\ell=1}^{2^{k^2+k}} 2^{k^2+k} u_{2^{k^2+k}} = 2^{k^2+k} \times 2^{k^2+k} \times 2^k k = 2^{2k^2+3k} k = o(2^{2(k+1)^2}) $, donc $ T_n/n^2 $ ne tend pas vers $ +\infty $.

[oty20]

Bonjour,

qu'est ce qui à motiver votre construction? Merci

[V@J]

L'idée était de tronçonner $ \mathbb{N} $ en des intervalles de plus en plus grands, sur lesquels on commence par mettre des $ u_\ell $ très grands avant d'en mettre beaucoup de tout petits, de manière à ce que :
- nos moyennes non pondérées des $ u_\ell $ soient grandes sur chaque bloc ;
- les $ u_\ell $ grands étant les premiers du bloc, leur influence devienne négligeable une fois que l'on incorpore des pondérations ;
- chaque bloc soit très grand par rapport au précédent, de manière à rendre négligeable toute influence due au bloc précédent.

Par ailleurs, ici, j'ai des $ u_\ell $ nuls, alors que l'énoncé précise qu'ils doivent être strictement positifs, mais si on ajoute 1 à tous les $ u_\ell $ les conclusions restent inchangées.

[oty20]

Très jolie, merci beaucoup pour l'explication.

[prepamath]

"Alors, en posant $ S_n = \sum_{\ell=1}^n u_\ell $, alors on remarque que la suite $ S_n/n $ croît sur chaque intervalle $ \{2^{k^2},\ldots,2^{k^2+k}\} $ et décroît sur chaque intervalle"


Bonjour, merci pour cet exemple.
Mais ceci est-il vrai? car il y a quand même un 1/n

[V@J]

"Alors, en posant $ S_n = \sum_{\ell=1}^n u_\ell $, alors on remarque que la suite $ S_n/n $ croît sur chaque intervalle $ \{2^{k^2},\ldots,2^{k^2+k}\} $ et décroît sur chaque intervalle"


Bonjour, merci pour cet exemple.
Mais ceci est-il vrai? car il y a quand même un 1/n

Oui, c'est vrai, mais j'aurais dû indiquer pourquoi :
- si $ 2^{k^2} < n \leqslant 2^{k^2+k} $, alors $ u_n = \max\{u_1,\ldots,u_n\} $, donc $ (n-1) u_n \geqslant S_{n-1} $, de sorte que $ S_n / n = (S_{n-1} + u_n) / n \geqslant S_{n-1} (1+1/(n-1)) / n = S_{n-1} / (n-1) $ ;
- de même, si $ 2^{k^2+k} < n \leqslant 2^{(k+1)^2} $, alors $ u_n = \min\{u_1,\ldots,u_n\} $, donc $ (n-1) u_n \leqslant S_{n-1} $, de sorte que $ S_n / n = (S_{n-1} + u_n) / n \leqslant S_{n-1} (1+1/(n-1)) / n = S_{n-1} / (n-1) $.

[Proof]

Voici un énoncé juste qui ressemble à l'exercice de l'auteur
Soit u une suite réelle. On définit la suite v par $$ v_n = \frac{1}{n^2}\sum_{\ell=1}^n \ell u_{\ell} $$
Montrer que si la suite u est convergente, alors la suite v aussi.