Représentation géométrique

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Représentation géométrique

Message par Von_ » 05 juil. 2019 20:20

Bonjour,
J'arrive pas à trouver une interprétation géométrique pour résoudre cet exo :
Déterminer tous les n-uplets $ (x_1,x_2,...,x_n $ de $ \mathbb{R}^n $ tels que : $ \sum_{i=0}^{n}x_i ^{2}=\sum_{i=0}^{n}x_i=n $.
Bon, les égalités nous donnent $ \sum_{i<j}^{n}x_ix_j=\frac{n(n-1)}{2} $, mais après je sais pas comment faire, j'ai pensé à "remplir" un tableau pour obtenir une sorte de matrice antisymétrique etc mais ça ne marche pas! Je crois qu'une représentation géométrique m'échappe et donc j'arrive pas à résoudre ce problème.

Help?
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Re: Représentation géométrique

Message par matmeca_mcf1 » 05 juil. 2019 22:42

Géométriquement, le lieu
$$
\{x\in\mathbb{R}^n:\sum_{i=1}x_i^2=n\}
$$
est une hypershpère de centre O et de rayon $ \sqrt{n} $

Le lieu
$$
\sum_{i=0}x_i=n
$$
est un hypercube de centre O dont les sommets sont $ n\pm \vec{e}_i $.

Si la somme commence à 1, la solution est un ensemble fini. Indice: utilisez le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz. Si la somme commence à 0, c'est un peu plus compliqué mais cela reste faisable.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Représentation géométrique

Message par Von_ » 06 juil. 2019 12:09

matmeca_mcf1 a écrit :
05 juil. 2019 22:42
Si la somme commence à 1, la solution est un ensemble fini. Indice: utilisez le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz. Si la somme commence à 0, c'est un peu plus compliqué mais cela reste faisable.
D'accord, donc la solution c'est dire que les $ x_i $ sont colinéaires à $ x_1 $ par exemple ? Mais la représentation géométrique est "complexe", et donc dur de le voir si ?
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Re: Représentation géométrique

Message par matmeca_mcf1 » 06 juil. 2019 12:33

Von_ a écrit :
06 juil. 2019 12:09
D'accord, donc la solution c'est dire que les $ x_i $ sont colinéaires à $ x_1 $ par exemple ? Mais la représentation géométrique est "complexe", et donc dur de le voir si ?
Je ne sais pas pourquoi, j'ai fait le raisonnement avec le lieu géométrique $ \sum_{i=1}^n\lvert x_i\rvert=n $. Je m'aperçois maintenant que j'ai rajouté les valeurs absolues. Pour le problème de départ, sans les valeurs absolues,, le raisonnement est très similaire. Et la description géométrique est encore plus simple. Les deux lieux géométriques sont une hypersphère et un hyperplan tangeant à cette hypersphère.

Géométriquement, cela se voit. Quand j'ai fait le raisonnement (avec des valeurs absolues) j'ai vu qu'en 2d il s'agissait de l'intersection d'un cercle et d'un carré (dont les arêtes sont tournés de 45 degrés par rapport aux axes) Il suffit de s'apercevoir que la taille du carré et du cercle dans l'exercice font que le cercle est inscrit dans le carré et tangeant à chaque arête du carré. C'est seulement ensuite que j'ai vu qu'il suffisait d'appliquer Cauchy-Schwarz (réflexe, l'intersection est un ensemble discret de points isolés, deux sommes avec des carrés => regardons les conditions d'égalité de certaines inégalités. Il y a des sommes avec des carrés =>regardons Cauchy-Schwarz).
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Re: Représentation géométrique

Message par Von_ » 06 juil. 2019 12:37

matmeca_mcf1 a écrit :
06 juil. 2019 12:33

Géométriquement, cela se voit. Quand j'ai fait le raisonnement (avec des valeurs absolues) j'ai vu qu'en 2d il s'agissait de l'intersection d'un cercle et d'un carré (dont les arêtes sont tournés de 45 degrés par rapport aux axes) Il suffit de s'apercevoir que la taille du carré et du cercle dans l'exercice font que le cercle est inscrit dans le carré et tangeant à chaque arête du carré. C'est seulement ensuite que j'ai vu qu'il suffisait d'appliquer Cauchy-Schwarz (réflexe, l'intersection est un ensemble discret de points isolés, deux sommes avec des carrés => regardons les conditions d'égalité de certaines inégalités. Il y a des sommes avec des carrés =>regardons Cauchy-Schwarz).
Merci !
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