Integrable non bornée

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Integrable non bornée

Message par AhmedNasredinne » 18 juil. 2019 15:12

Bonjour,

quelqu'un aurait-il un lien ou une construction d'une fonction integrable, non bornée et indéfiniment dérivable sur R ?

Merci beaucoup.
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Re: Integrable non bornée

Message par Hulst » 18 juil. 2019 15:38

Bonjour,

Tu considères dans un premier temps une fonction dont la courbe représentative est une suite de triangles isocèles posés sur l'axe des abscisses: tu choisis la largeur et la hauteur de chacun des triangles de manière à avoir d'une part, une suite des hauteurs qui diverge vers $ +\infty $ et d'autre part la somme des aires de chacun des triangles qui est égale à la somme d'une série convergente.
Dans un second temps, tu "lisses" de manière $ C^{\infty} $ les points anguleux.

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Re: Integrable non bornée

Message par AhmedNasredinne » 18 juil. 2019 15:59

Bonjour, Hulst

merci pour votre réponse,
je connais l'exemple de la fonction en dent de scie, cependant le lissage me pose problème.
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Re: Integrable non bornée

Message par JeanN » 18 juil. 2019 16:13

AhmedNasredinne a écrit :
18 juil. 2019 15:59
Bonjour, Hulst

merci pour votre réponse,
je connais l'exemple de la fonction en dent de scie, cependant le lissage me pose problème.
Comme à tout le monde.
Personne n’a vraiment envie de rédiger ce genre de chose sauf si c’est très bien payé ou si on n’a pas le choix.
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Re: Integrable non bornée

Message par matmeca_mcf1 » 18 juil. 2019 16:48

De mémoire, on trouve une construction dans Hormander I (Linear operators vol 1) en faisant une convolution infinie de fonctions caractéristiques. C'est HP en prépa.

Sinon en prépa, on part classiquement en posant
$$
x\mapsto\begin{cases}0&\text{si $x \leq 0$}\\
\exp(-1/x)&\text{si $x>0$}
\end{cases}
$$
Montrez qu'il s'agit d'une fonction lisse. Puis avec des changements de variables et des multiplications, on en déduit une fonction lisse à support compact.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Integrable non bornée

Message par AhmedNasredinne » 19 juil. 2019 13:16

Bonjour, merci pour vos réponse,

--> JeanN,

c'est bien pour cela que je demandais un lien vers une construction !


--> matmeca_mcf1,

merci pour votre référence,

je vais partir sur votre seconde suggestion.

Merci.
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Re: Integrable non bornée

Message par Siméon » 22 juil. 2019 22:44

$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt n\, e^{-n^4(x-n)^2}
$$

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Re: Integrable non bornée

Message par Zak_ » 22 juil. 2019 23:57

$ x \mapsto \frac{x}{1+x^5\sin^2(x)} $ intégrable sur $ \mathbb{R}_+ $ non bornée et $ \mathcal{C}^\infty $ ! :D

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