Integrable non bornée
Integrable non bornée
Bonjour,
quelqu'un aurait-il un lien ou une construction d'une fonction integrable, non bornée et indéfiniment dérivable sur R ?
Merci beaucoup.
quelqu'un aurait-il un lien ou une construction d'une fonction integrable, non bornée et indéfiniment dérivable sur R ?
Merci beaucoup.
Pas d’aide par MP
2020-202X Centrale Supelec.
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Re: Integrable non bornée
Bonjour,
Tu considères dans un premier temps une fonction dont la courbe représentative est une suite de triangles isocèles posés sur l'axe des abscisses: tu choisis la largeur et la hauteur de chacun des triangles de manière à avoir d'une part, une suite des hauteurs qui diverge vers $ +\infty $ et d'autre part la somme des aires de chacun des triangles qui est égale à la somme d'une série convergente.
Dans un second temps, tu "lisses" de manière $ C^{\infty} $ les points anguleux.
Tu considères dans un premier temps une fonction dont la courbe représentative est une suite de triangles isocèles posés sur l'axe des abscisses: tu choisis la largeur et la hauteur de chacun des triangles de manière à avoir d'une part, une suite des hauteurs qui diverge vers $ +\infty $ et d'autre part la somme des aires de chacun des triangles qui est égale à la somme d'une série convergente.
Dans un second temps, tu "lisses" de manière $ C^{\infty} $ les points anguleux.
Re: Integrable non bornée
Bonjour, Hulst
merci pour votre réponse,
je connais l'exemple de la fonction en dent de scie, cependant le lissage me pose problème.
merci pour votre réponse,
je connais l'exemple de la fonction en dent de scie, cependant le lissage me pose problème.
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2020-202X Centrale Supelec.
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Re: Integrable non bornée
Comme à tout le monde.AhmedNasredinne a écrit : ↑18 juil. 2019 15:59Bonjour, Hulst
merci pour votre réponse,
je connais l'exemple de la fonction en dent de scie, cependant le lissage me pose problème.
Personne n’a vraiment envie de rédiger ce genre de chose sauf si c’est très bien payé ou si on n’a pas le choix.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Integrable non bornée
De mémoire, on trouve une construction dans Hormander I (Linear operators vol 1) en faisant une convolution infinie de fonctions caractéristiques. C'est HP en prépa.
Sinon en prépa, on part classiquement en posant
$$
x\mapsto\begin{cases}0&\text{si $x \leq 0$}\\
\exp(-1/x)&\text{si $x>0$}
\end{cases}
$$
Montrez qu'il s'agit d'une fonction lisse. Puis avec des changements de variables et des multiplications, on en déduit une fonction lisse à support compact.
Sinon en prépa, on part classiquement en posant
$$
x\mapsto\begin{cases}0&\text{si $x \leq 0$}\\
\exp(-1/x)&\text{si $x>0$}
\end{cases}
$$
Montrez qu'il s'agit d'une fonction lisse. Puis avec des changements de variables et des multiplications, on en déduit une fonction lisse à support compact.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Re: Integrable non bornée
Bonjour, merci pour vos réponse,
--> JeanN,
c'est bien pour cela que je demandais un lien vers une construction !
--> matmeca_mcf1,
merci pour votre référence,
je vais partir sur votre seconde suggestion.
Merci.
--> JeanN,
c'est bien pour cela que je demandais un lien vers une construction !
--> matmeca_mcf1,
merci pour votre référence,
je vais partir sur votre seconde suggestion.
Merci.
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2020-202X Centrale Supelec.
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Re: Integrable non bornée
$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt n\, e^{-n^4(x-n)^2}
$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt n\, e^{-n^4(x-n)^2}
$$
Re: Integrable non bornée
$ x \mapsto \frac{x}{1+x^5\sin^2(x)} $ intégrable sur $ \mathbb{R}_+ $ non bornée et $ \mathcal{C}^\infty $ !