Somme de chiffres d'un nombre

[Proteinas]

Bonsoir,

J'ai quelques difficultés à résoudre cet exercice et je n'ai pas accès à la correction (j'ai l'impression que la question 1 comporte une erreur).

1. Mon code secret de téléphone portable est composé de quatre chiffres différents et tous non nuls. Quand j’effectue la somme de tous les nombres possibles que je peux former avec deux de ces quatre chiffres (dans un sens ou dans un autre), je retrouve mon code. Quel est mon code ?

En notant n le code et a,b,c,d les 4 chiffres, je trouve 33(a+b+c+d)=n d'où $ n \leq 33 \cdot 36 \leq 1188 $. Mais alors le fait qu'aucun chiffre ne soit nul implique a=b=1 qui contredit l'énoncé, non ?

2. Oups, je m’étais trompé, il faut encore multiplier le résultat par 7 pour trouver mon code. Quel est mon code ?

Cette fois on a 231(a+b+c+d)=n qui donne $ 6(a+b+c+d) \equiv n \pmod 9 $. Or on sait que $ a+b+c+d \equiv n \pmod 9 $ d'où $ 5(a+b+c+d) \equiv 0 \pmod 9 $ ou encore $ a+b+c+d \equiv 0 \pmod 9 $ qui donne $ a+b+c+d \in \{9; 18; 27\} $ mais je suis pas sûr de savoir comment conclure...

[oty20]

Quand j’effectue la somme de tous les nombres possibles que je peux former avec deux de ces quatre chiffres (dans un sens ou dans un autre), je retrouve mon code. Quel est mon code ?

soient les $a_{i}, i \in [[1,4]]$ les chiffres de sorte que $n=a_{3}10^{3}+a_{2}10^{2}+10a_{1}+a_{0}$, les nombres qu'on peut former avec deux de ces quatre chiffres sont :

$\{a_{i}, 10a_{i}+a_{j},|j\in [[0,3]]\}$


ùsoit la somme de tous les nombres possibles est :

$\sum_{i=0}^{3} (a_{i}+\sum_{j=0}^{3} 10a_{i}+a_{j})= 45 \sum_{i=0}^{4} a_{i}=n$

on voit aisément qu'il n'y a pas de solution, alors on peut se dire qu'il est allé jusqu'a formé des nombres à 3 chiffres

donc il faut ajouter $\{100a_{i}+10a_{j}+a_{i}, 100a_{j}+10a_{i}+a_{i} , 100a_{i}+10a_{i}+a_{j} | j \in [[0,3]]\}$ ce qui donne

$269 (\sum a_{i})=n$

$731a_{3}=169a_{2}+259a_{1}+268a_{0}$



il vient que $a_{3},a_{2},a_{1}$ sont paires.

et comme $731 a_{3} \leq 169 \times 7 + 259 \times 8 + 269 \times 9$ il vient que $a_{3} \leq 7$ comme il est paire $a_{3} \in \{2,4,6\}$

d'autre part on a $269 \equiv 8 [9]$ donc $7\sum a_{i} \equiv 0[9]$ et donc $\sum a_{i} \equiv 0 [9]$

si $a_{3}=6$ on a donc soit $6+4+8=18$ et donc $a_{0}=9$ pas de solution dans ce cas , ou alors $2+4+6=12$ et $a_{0}=6$

dans tout les cas $a_{3}=4$ on a $4+2+6=12$ , $4+6+8=18$ , $4+2+8=14$ donc $a_{0} \in \{6,9,4\}$ , $a_{0}=4$ est exclu. Pas de sol dans ce cas non plus

$a_{3}=2$ alors $2+6+4=12$ , $2+8+4=14$ , $2+6+8=16$ $a_{0} \in \{6,4\}$ pas de sol non plus.

il faut soit donc considérer qu'il a aussi formé des nombres à quatre chiffres à prendre en compte comme précédemment, soit j'ai fait une erreur quelque part.

[Nabuco]

Vu la deuxième question le premier n a pas de solution.
Pour la deuxième question la somme peut valoir 36 à priori. Une fois que tu as déterminé 3 valeurs pour la somme ça te donne 4 valeurs pour n il suffit de vérifier si elles sont solutions ou non

[Proteinas]

Vu la deuxième question le premier n a pas de solution.
Pour la deuxième question la somme peut valoir 36 à priori.

Si la somme vaut 36 le code est 9999 qui est impossible, non ?

Une fois que tu as déterminé 3 valeurs pour la somme ça te donne 4 valeurs pour n il suffit de vérifier si elles sont solutions ou non

Comment passer des 3 valeurs pour la somme à seulement 4 valeurs de n ? C'est peut-être idiot comme question mais c'est là que je n'arrive pas à conclure

[Nabuco]

Vu la deuxième question le premier n a pas de solution.
Pour la deuxième question la somme peut valoir 36 à priori.

Si la somme vaut 36 le code est 9999 qui est impossible, non ?

Une fois que tu as déterminé 3 valeurs pour la somme ça te donne 4 valeurs pour n il suffit de vérifier si elles sont solutions ou non

Comment passer des 3 valeurs pour la somme à seulement 4 valeurs de n ? C'est peut-être idiot comme question mais c'est là que je n'arrive pas à conclure

n=231(a+ b+c+d) te donne la valeur de n et tu as donc 3 valeurs de n à tester

[Proteinas]

Aaaah oui effectivement.

Merci

[oty20]

d'ou vient le 33 dans 33(a+b+c+d)=n j'ai peut etre mal compris l'énoncé ? Merci

[Nabuco]

d'ou vient le 33 dans 33(a+b+c+d)=n j'ai peut etre mal compris l'énoncé ? Merci

En fait les nombres que tu peux former à partir de deux chiffres parmi les 4 sont ab ba ac ca ad da bc cb bd db cd dc en base 10. Si tu sommes chacun des chiffres apparait 3 fois en dizaine et 3 fois en unité d'où le 33.

[oty20]

Ah oui il faut considérer que les $a_{i}a_{j}$, $j \neq i$, comme il les forme avec exactement deux chiffres distincts, oups ce qui donne :

$\sum_{i=0}^{3}((\sum_{j=0}^{3} 10a_{i}+a_{j})- 11a_{i})=33(\sum_{i=0}^{3} a_{i})$


Edit: @Nabuco vous avez été plus rapide