Problème sur mon devoir de vacances
Problème sur mon devoir de vacances
Bonjour, futur étudiant en 1ère année de prépa, j'ai eu un devoir de math à faire pendant les vacances, seulement, je n'arrive pas à résoudre une partie d'un exercice, la voici :
On pose, pour tout entier naturel n non nul, $ S_{n} $ = $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} sin(\frac{k*pi}{n}) $
1. Calculer $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} z^{k} $ pour z=$ e^{(\frac{i*pi}{n})} $
2. Déterminer la partie imaginaire et la partie réelle de $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} z^{k} $
3. En déduire que $ S_{n} $ = $ \frac{1}{tan(\frac{pi}{2n})} $
4. Déterminer la limite de $ \frac{S_{n}}{n} $ quand n tend vers + l'infini
Pour la question 1, je pensais utiliser la somme des termes d'une suites géométrique, et pour la question 2 le binôme de Newton, mais je ne pense pas être sur la bonne voie. J'espère que vous pourrez m'aider. Merci d'avance.
On pose, pour tout entier naturel n non nul, $ S_{n} $ = $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} sin(\frac{k*pi}{n}) $
1. Calculer $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} z^{k} $ pour z=$ e^{(\frac{i*pi}{n})} $
2. Déterminer la partie imaginaire et la partie réelle de $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} z^{k} $
3. En déduire que $ S_{n} $ = $ \frac{1}{tan(\frac{pi}{2n})} $
4. Déterminer la limite de $ \frac{S_{n}}{n} $ quand n tend vers + l'infini
Pour la question 1, je pensais utiliser la somme des termes d'une suites géométrique, et pour la question 2 le binôme de Newton, mais je ne pense pas être sur la bonne voie. J'espère que vous pourrez m'aider. Merci d'avance.
Re: Problème sur mon devoir de vacances
Pour la question 2, utilise la question 1 et pense à utiliser la formule de l arc moitiéTomLo a écrit : ↑27 août 2019 11:51Bonjour, futur étudiant en 1ère année de prépa, j'ai eu un devoir de math à faire pendant les vacances, seulement, je n'arrive pas à résoudre une partie d'un exercice, la voici :
On pose, pour tout entier naturel n non nul, $ S_{n} $ = $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} sin(\frac{k*pi}{n}) $
1. Calculer $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} z^{k} $ pour z=$ e^{(\frac{i*pi}{n})} $
2. Déterminer la partie imaginaire et la partie réelle de $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} z^{k} $
3. En déduire que $ S_{n} $ = $ \frac{1}{tan(\frac{pi}{2n})} $
4. Déterminer la limite de $ \frac{S_{n}}{n} $ quand n tend vers + l'infini
Pour la question 1, je pensais utiliser la somme des termes d'une suites géométrique, et pour la question 2 le binôme de Newton, mais je ne pense pas être sur la bonne voie. J'espère que vous pourrez m'aider. Merci d'avance.
Re: Problème sur mon devoir de vacances
Merci beaucoup, je ne connais pas vraiment cette formule, je vais me renseigner dessus ! Est-ce que cela signifie qu'il est pertinent d'utiliser la formule concernant la somme des termes d'une suite géométrique pour la question 1 ?
Re: Problème sur mon devoir de vacances
Merci beaucoup !
Re: Problème sur mon devoir de vacances
Excusez moi, mais je me retrouve de nouveau bloqué à la question 2. Ainsi j'obtient $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n} z^{k} $ = $ \frac{1-|z|^{n}e^{inՓ}}{1-|z|e^{iՓ}} $
J'ai donc essayé d'utiliser la formule de l'arc moitié, cependant, le |z| me gène, y'a t il une manière de l'éliminer que je n'ai pas remarqué, ou bien je me suis juste trompé de méthode/calcul ?
J'ai donc essayé d'utiliser la formule de l'arc moitié, cependant, le |z| me gène, y'a t il une manière de l'éliminer que je n'ai pas remarqué, ou bien je me suis juste trompé de méthode/calcul ?
Re: Problème sur mon devoir de vacances
C'est bien la bonne méthode mais il me semble que tu fais le calcul pour $ z=|z|e^{in\varphi} $ alors que ta question demande de faire le calcul dans un cas un peu moins général (qui simplifie donc le module)
2017/2020: MPSI/MP* Pierre de Fermat
Re: Problème sur mon devoir de vacances
Je dois donc garder z=$ e^{\frac{i*pi}{n}} $ ?
Re: Problème sur mon devoir de vacances
Oui, l'énoncé indique de prendre z tel qu'il est donné, soit avec un module valant 1
2019-2021: MPSI-MP* Saint-Louis
2021 : CentraleSupélec
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Re: Problème sur mon devoir de vacances
De plus, es-tu certain de ton résultat pour la question 1 qui semble beaucoup trop général même sans le module.
2019-2021: MPSI-MP* Saint-Louis
2021 : CentraleSupélec
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