Problème sur mon devoir de vacances

[TomLo]

Bonjour, futur étudiant en 1ère année de prépa, j'ai eu un devoir de math à faire pendant les vacances, seulement, je n'arrive pas à résoudre une partie d'un exercice, la voici :

On pose, pour tout entier naturel n non nul, $ S_{n} $ = $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} sin(\frac{k*pi}{n}) $

1. Calculer $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} z^{k} $ pour z=$ e^{(\frac{i*pi}{n})} $

2. Déterminer la partie imaginaire et la partie réelle de $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} z^{k} $

3. En déduire que $ S_{n} $ = $ \frac{1}{tan(\frac{pi}{2n})} $

4. Déterminer la limite de $ \frac{S_{n}}{n} $ quand n tend vers + l'infini

Pour la question 1, je pensais utiliser la somme des termes d'une suites géométrique, et pour la question 2 le binôme de Newton, mais je ne pense pas être sur la bonne voie. J'espère que vous pourrez m'aider. Merci d'avance.

[Nabuco]

Bonjour, futur étudiant en 1ère année de prépa, j'ai eu un devoir de math à faire pendant les vacances, seulement, je n'arrive pas à résoudre une partie d'un exercice, la voici :

On pose, pour tout entier naturel n non nul, $ S_{n} $ = $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} sin(\frac{k*pi}{n}) $

1. Calculer $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} z^{k} $ pour z=$ e^{(\frac{i*pi}{n})} $

2. Déterminer la partie imaginaire et la partie réelle de $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} z^{k} $

3. En déduire que $ S_{n} $ = $ \frac{1}{tan(\frac{pi}{2n})} $

4. Déterminer la limite de $ \frac{S_{n}}{n} $ quand n tend vers + l'infini

Pour la question 1, je pensais utiliser la somme des termes d'une suites géométrique, et pour la question 2 le binôme de Newton, mais je ne pense pas être sur la bonne voie. J'espère que vous pourrez m'aider. Merci d'avance.

Pour la question 2, utilise la question 1 et pense à utiliser la formule de l arc moitié

[TomLo]

Merci beaucoup, je ne connais pas vraiment cette formule, je vais me renseigner dessus ! Est-ce que cela signifie qu'il est pertinent d'utiliser la formule concernant la somme des termes d'une suite géométrique pour la question 1 ?

[Alkaar]

Oui

[TomLo]

Merci beaucoup !

[TomLo]

Excusez moi, mais je me retrouve de nouveau bloqué à la question 2. Ainsi j'obtient $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n} z^{k} $ = $ \frac{1-|z|^{n}e^{inՓ}}{1-|z|e^{iՓ}} $
J'ai donc essayé d'utiliser la formule de l'arc moitié, cependant, le |z| me gène, y'a t il une manière de l'éliminer que je n'ai pas remarqué, ou bien je me suis juste trompé de méthode/calcul ?

[darkpatric]

C'est bien la bonne méthode mais il me semble que tu fais le calcul pour $ z=|z|e^{in\varphi} $ alors que ta question demande de faire le calcul dans un cas un peu moins général (qui simplifie donc le module)

[TomLo]

Je dois donc garder z=$ e^{\frac{i*pi}{n}} $ ?

[Alkaar]

Oui, l'énoncé indique de prendre z tel qu'il est donné, soit avec un module valant 1

[Alkaar]

De plus, es-tu certain de ton résultat pour la question 1 qui semble beaucoup trop général même sans le module.