Matrice élémentaire.

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Matrice élémentaire.

Message par Bidoof » 31 août 2019 18:23

Salut à tous,
$ $
Soit $E_{i,j}$ une matrice élémentaire ($1$ en position $(i,j)$ et $0$ ailleurs). Soit $M \in M_{n}$.
Il est utile pour les opérations élémentaires (par exemple pour le pivot de Gauss) de constater que
1) $E_{i,j}M$ est ... (je vais voir mon cours) est la matrice contenant seulement la ligne $j$ de $M$ dans la ligne $i$.
2) $ME_{i,j}$ est ... (je vais voir mon cours) est la matrice contenant seulement la colonne $i$ de $M$ dans la colonne $j$.

Mon but est de ne plus regarder mon cours pour m'en souvenir. Peut être il y'a pas une idée à avoir qui permet de retenir ce résultat par coeur. Mon moyen pour l'instant c'est essayer avec des petites matrices mais ce n'est pas rapide !

Voilà, on sait jamais peut être quelqu'un a une bonne astuce à faire partager je l'en remercie d'avance.

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Re: Matrice élémentaire.

Message par Calli » 31 août 2019 18:48

Bonjour,
On peut voir le produit matriciel comme des manipulations sur les colonnes et les lignes, ce qui permet de calculer plus facilement et plus rapidement qu'en utilisant que la formule des coefficients de la matrice produit. Si tu ne connais pas, regarde ci-dessous pages 150 à 154 les paragraphes 25.1.20, 25.1.26, 25.1.27, 25.1.30.
http://alain.troesch.free.fr/2018/Fichi ... lgebre.pdf
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Re: Matrice élémentaire.

Message par Bidoof » 31 août 2019 19:38

Bonjour,
Les résultats sont évidents mais je n'ai pas l'habitude de les utiliser merci ! Et je pense avoir compris ton idée : Pour $ME_{i,j}$ on voit que la seule colonne non vide est la $j$ et on voit encore qu'elle contient la colonne $i$.
Pour $E_{i,j}M$ c'est moins facile de la faire de tête mais je vois quand même que c'est la ligne $i$ qui est non vide. Elle contient euh oui la ligne $j$.

C'est pas mal merci ^^.

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Re: Matrice élémentaire.

Message par JeanN » 01 sept. 2019 13:12

Bidoof a écrit :
31 août 2019 18:23
Salut à tous,
$ $
Soit $E_{i,j}$ une matrice élémentaire ($1$ en position $(i,j)$ et $0$ ailleurs). Soit $M \in M_{n}$.
Il est utile pour les opérations élémentaires (par exemple pour le pivot de Gauss) de constater que
1) $E_{i,j}M$ est ... (je vais voir mon cours) est la matrice contenant seulement la ligne $j$ de $M$ dans la ligne $i$.
2) $ME_{i,j}$ est ... (je vais voir mon cours) est la matrice contenant seulement la colonne $i$ de $M$ dans la colonne $j$.

Mon but est de ne plus regarder mon cours pour m'en souvenir. Peut être il y'a pas une idée à avoir qui permet de retenir ce résultat par coeur. Mon moyen pour l'instant c'est essayer avec des petites matrices mais ce n'est pas rapide !

Voilà, on sait jamais peut être quelqu'un a une bonne astuce à faire partager je l'en remercie d'avance.

Pourquoi as-tu besoin d’aller voir ton cours pour faire un produit matriciel finalement assez simple ?
Et personne ne te demande d’être ultra rapide sur ce résultat, seulement de savoir le retrouver sans erreur en faisant convenablement le produit.
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Re: Matrice élémentaire.

Message par fakbill » 01 sept. 2019 18:50

Oui je ne comprends pas non plus. Ce n'est pas du droit. Il ne faut pas apprendre par cœur. C'est un bête produit matriciel avec une matrice qui ne contient qu'un "1" et des 0 partout ailleurs. Ce produit ne "sélectionne" donc qu'un élément dans la matrice.

Question: pourquoi appelle t on ces matrices des matrice "élémentaires"? Si ce n'est pas évident c'est que le concept n'est pas compris.
Pas prof.
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Re: Matrice élémentaire.

Message par Bidoof » 02 sept. 2019 08:48

Bonjour,

Personne ne me demande d'être ultra rapide sur ce résultat ? Comment le savez vous ? Je m'intéresse en ce moment à réduire une matrice en forme normale de Smith. Si je dois récupérer les matrices de passages qui sont des produits de matrices de transvections, dilatations et permutations. Je ne serai pas surpris qu'il me soit utile d'avoir des astuces "rapides" sur les matrices élémentaires ne serait-ce que pour me souvenir si je dois multiplier à droite ou à gauche par une transvection pour effectuer $L_{i} \leftarrow L_{i} + \lambda L_{j}$.

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Re: Matrice élémentaire.

Message par fakbill » 02 sept. 2019 13:09

Personne ne te demande *à raison* de resortir ce résultat par coeur. Il en va de meme avec pratiquement tous les résultats : il vaut mieux *réfléchir pendant 2s* plutôt que d'essayer de se souvenir pendant 2s. Exemple : le formulaire trigo. C'est de la mémorisation mais pas que : Donner une formule fausse car elle ne marche pas en 0 ou ne marche pas quand on intervertit a et b n'est pas acceptable et n'arrive pas si on *réfléchit* 2s. Encore une fois, ce n'est pas du droit, c'est des maths.
Faire le produit prends 2s donc ça ne pose aucun problème.

Les "astuces" c'est pareil...ça n'existe presque jamais. Ce sont de tous petits raisonnements.
Dans ton cas précis, tu peux le faire sur une matrice 2x2 par exemple si tu as un vague doute. ca prend vraiment 2s...
Pas prof.
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Re: Matrice élémentaire.

Message par JeanN » 02 sept. 2019 18:34

Bidoof a écrit :
02 sept. 2019 08:48
Bonjour,

Personne ne me demande d'être ultra rapide sur ce résultat ? Comment le savez vous ?
Parce que je suis prof et je n'ai jamais vu un seul collègue demander d'apprendre ça par coeur à ses élèves.
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