Inégalité de Hilbert

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Inégalité de Hilbert

Message par mik2000 » 14 oct. 2019 21:36

Salut a tous,
Je vous joins le sujet d un exercice intéressant et a priori... facile :
https://drive.google.com/file/d/1-32fQ1 ... p=drivesdk

Mon soucis ? Euhh, comment traiter la question 1)b ? ( j'ai trouvé la 1)a) rapidement et j'ai tourné en rond pour la 1)b)
Ce que j'ai fait :
Et ben évidement j'ai utiliser la 1)a) avec P^2 , puis majorer en module.
Mais comment passer à des intégrales sur 0,1 ? P^2 n est pas pair a priori...
J'ai introduit le polynôme P(X)P(-X) qui est pair mais sans succès puis... je suis passé à la suite :mrgreen:

Une petite indication ... maybe ? :wink:

Merci, mik

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Re: Inégalité de Hilbert

Message par autobox » 14 oct. 2019 23:16

As-tu essayé avec $ \frac{P(X) + P(-X)}{2} $ ?
Il a le bon goût d'être pair et de faire apparaitre un 1/2.
Je suis sur mon portable et il est 23h, j'ai pas fait le calcul je donne juste une idée :D

Ensuite Cauchy-Schwarz j'imagine

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Re: Inégalité de Hilbert

Message par JeanN » 14 oct. 2019 23:45

mik2000 a écrit :
14 oct. 2019 21:36
Salut a tous,
Je vous joins le sujet d un exercice intéressant et a priori... facile :
https://drive.google.com/file/d/1-32fQ1 ... p=drivesdk

Mon soucis ? Euhh, comment traiter la question 1)b ? ( j'ai trouvé la 1)a) rapidement et j'ai tourné en rond pour la 1)b)
Ce que j'ai fait :
Et ben évidement j'ai utiliser la 1)a) avec P^2 , puis majorer en module.
Mais comment passer à des intégrales sur 0,1 ? P^2 n est pas pair a priori...
J'ai introduit le polynôme P(X)P(-X) qui est pair mais sans succès puis... je suis passé à la suite :mrgreen:

Une petite indication ... maybe ? :wink:

Merci, mik

J’ai l’impression que ça marche avec ta première idée.
Tu n’as qu'à utiliser que p*p est positif ou nul entre -1 et 0 si je ne dis pas n’importe quoi.
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Re: Inégalité de Hilbert

Message par BobbyJoe » 15 oct. 2019 09:07

Par la première question, tu as aussi l'identité (en appliquant la formule de Cauchy sur le demi-cercle inférieur et non supérieur cette fois-ci) :
$\int_{-1}^{1}p(x)dx=-i\int_{0}^{-\pi}p(e^{it})e^{it}dt.$
En appliquant ces deux identités à $p$ changé en $p^{2}$, tu obtient l'identité recherchée en les sommant (quitte à utiliser l'inégalité triangulaire et en minorant le terme de gauche).

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Re: Inégalité de Hilbert

Message par mik2000 » 15 oct. 2019 10:09

autobox a écrit :
14 oct. 2019 23:16
As-tu essayé avec $ \frac{P(X) + P(-X)}{2} $ ?
Il a le bon goût d'être pair et de faire apparaitre un 1/2.
Je suis sur mon portable et il est 23h, j'ai pas fait le calcul je donne juste une idée :D

Ensuite Cauchy-Schwarz j'imagine
Salut, alors ton polynôme contient une somme et donc ça va pas pratique vu qu'on veut l intégrale d un polynôme au carré ! Oui on peut penser à utiliser après la fameuse inegalite Cauchy Schwartz
Mais ça fait intervenir des carrés... d intégrales ! C'est compliqué
Merci quand meme :D

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Re: Inégalité de Hilbert

Message par mik2000 » 15 oct. 2019 10:12

JeanN a écrit :
14 oct. 2019 23:45
[

Tu n’as qu'à utiliser que p*p est positif ou nul entre -1 et 0 si je ne dis pas n’importe quoi.
Et ben... en effet ça marche ! Je me suis pris la tête pour rien... comme quoi c était bien simple
Merci

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Re: Inégalité de Hilbert

Message par mik2000 » 15 oct. 2019 10:15

BobbyJoe a écrit :
15 oct. 2019 09:07
Par la première question, tu as aussi l'identité (en appliquant la formule de Cauchy sur le demi-cercle inférieur et non supérieur cette fois-ci) :
$\int_{-1}^{1}p(x)dx=-i\int_{0}^{-\pi}p(e^{it})e^{it}dt.$
Salut, merci , ça marche !
Mais on doit faire plus simple ( car dans le cours y'a pas de formule de Cauchy ... )
Il suffit de conjuguer l équation de 1)a) puis de faire un changement de variable simple. ( u=-t)

Voilouuu

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Re: Inégalité de Hilbert

Message par mik2000 » 15 oct. 2019 10:21

Donc l exo est clos ! Et pour les petits curieux , y'a cette exo, très sympa, avec des inégalités de sommes continues cette fois ( ie des intégrales ) c'est l inégalité de Wintinger :

https://drive.google.com/file/d/1-7E_s3 ... p=drivesdk

Ps : j'ai tout fait sauf le cas d égalité, bref...
Mik

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Re: Inégalité de Hilbert

Message par JeanN » 15 oct. 2019 10:48

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Re: Inégalité de Hilbert

Message par autobox » 15 oct. 2019 12:13

mik2000 a écrit :
15 oct. 2019 10:09
autobox a écrit :
14 oct. 2019 23:16
As-tu essayé avec $ \frac{P(X) + P(-X)}{2} $ ?
Il a le bon goût d'être pair et de faire apparaitre un 1/2.
Je suis sur mon portable et il est 23h, j'ai pas fait le calcul je donne juste une idée :D

Ensuite Cauchy-Schwarz j'imagine
Salut, alors ton polynôme contient une somme et donc ça va pas pratique vu qu'on veut l intégrale d un polynôme au carré ! Oui on peut penser à utiliser après la fameuse inegalite Cauchy Schwartz
Mais ça fait intervenir des carrés... d intégrales ! C'est compliqué
Merci quand meme :D


Si je ne dis pas de bêtise, un mix de mon truc et de celui de JeanN, sans CS :
$
\displaystyle \int_0^1 p^2(x) dx \leq \int_0^1 p^2(x) + p^2(-x) dx = \int_{-1}^{1} \frac{p^2(x)+p^2(-x)}{2} dx \leq \frac{1}{2}\left( \int_0^{\pi} |p(e^{it})|^2 dt + \int_0^{\pi} |p(e^{i(t-\pi)})|^2 dt \right) = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} |p(e^{it})|^2 dt
$

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