Somme d'une série ( sympathique )

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Somme d'une série ( sympathique )

Message par mik2000 » 16 oct. 2019 16:35

Salut a tous,
Je lisais un article et je suis tombé sur cette égalité étonnante :
https://drive.google.com/file/d/1-Mmw6- ... p=drivesdk

Qui a une petite idée pour calculer la somme de la série sans utiliser les probas? Ça me parle pas du tout.

Enfin voilà,
Merci
Mik

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Re: Somme d'une série ( sympathique )

Message par mik2000 » 16 oct. 2019 19:24

Elle est pas si sympathique, je vous l accorde :)

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Re: Somme d'une série ( sympathique )

Message par fakbill » 17 oct. 2019 19:02

Pourquoi "sans utiliser les proba"?
Pas prof.
Prépa, école, M2, thèse (optique/images) ->ingé dans le privé.

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Re: Somme d'une série ( sympathique )

Message par autobox » 20 oct. 2019 02:08

Considère la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f(x) = x\exp(x) $.
Un exercice niveau lycée consiste à montrer que $ f $ est $ C^\infty $, de dérivée donnée par $ f'(x) = (1+x)\exp(x) $. Il apparait clairement que sur $ J = (-1,\infty ) $, $ f $ est strictement croissante et continue. Elle induit alors une bijection et nous noterons $ W $ son inverse sur cet intervalle.
$ W $ s'appelle la fonction de Lambert.
Pour tout $ x $ dans $ J $, on a $ x = W(x)\exp(W(x)) $ et $ W $ est de classe $ C^\infty $ sur $ J $


Bien que $ W $ ne puisse être exprimée avec des fonctions usuelles, certaines de ses valeurs sont évidentes
-> $ W(0) = 0 $, car $ 0 = 0\exp(0) $
-> $ W(-1/e) = -1 $ car $ -1/e = (-1)\exp(-1) $

On peut cependant exprimer $ W' $ en fonction de $ W $ à l'aide de la formule de dérivation d'une fonction réciproque. On peut montrer que $ \forall n>0, W^{(n)}(0) = (-n)^{n-1} $... Là normalement tu me vois venir avec mes gros sabots :wink:


C'est hors programme de prépa, mais en fait $ W $ est développable en série entière sur l'intérieur de $ J $, et mieux encore, prolongeable analytiquement partout sur $ \mathbb{C} $, sauf sur un certain domaine, qui ne nous intéresse pas là, car cela nous amènerait trop loin.
Comme toute fonction holomorphe qui se respecte, elle est égale à sa série entière (qui converge normalement et uniformément) sur tout compact de son domaine étendu.
(remarque : la série en question est sans terme constant, car $ W(0) = 0 $)

En revenant aux séries réelles, un théorème dit que si la série converge absolument au point 1/e (qui est le rayon de convergence), elle converge en réalité normalement sur $ [-1/e,1/e] $.
Or, la somme recherchée est précisément $ -W(-1/e) $. C'est heureux car on peut se contenter du développement de Taylor au point 0. Puisque nous savons que $ W(-1/e) = -1 $, nous retombons bien sur la valeur $ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{n-1}}{n!}e^{-n} = 1 $ :)

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Re: Somme d'une série ( sympathique )

Message par mik2000 » 20 oct. 2019 14:33

Salut ,
Alors toute la question est de savoir si on peut démontrer avec le programme de MP, que W est développable en série entière en 0 et de rayon de convergence supérieure ou égal à 1/e...

C'est la bijection réciproque dune fonction développable. Ça peut se faire , peut être, par la méthode dune équation fonctionnelle etc...
Le problème de trouver une bonne minoration du rayon est à mon avis plus difficile.

Bref, voilà
Mik

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Re: Somme d'une série ( sympathique )

Message par autobox » 20 oct. 2019 14:57

Tout est faisable avec le programme de MP dans ce que j'ai dit, sauf la partie (pas très utile ici) sur le prolongement analytique.
Le rayon de convergence est facile à calculer, même si la formule d'Hadamard est hors-programme, grace à la formule de Stirling (qui te donne un équivalent du terme général, et donc te permet de te ramener au cas d'une série géométrique).
Pour ce qui est de du DSE en lui-même, il y a la formule d'inversion de Lagrange, mais je ne sais pas si c'est au programme.
La preuve consiste à effectuer le calcul directement.
(je précise que l'inverse de f, c'est-à-dire W, est analytique sur ]-1,1[ car W' ne s'annule pas sur ]-1,1[)

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Re: Somme d'une série ( sympathique )

Message par mik2000 » 20 oct. 2019 16:03

C'est quel rayon de convergence dont tu parles ? On ne sait même pas justement que W est développable en série entière ! Et c'est pas du tout évident. Il n'y a aucun théorème en MP utilisable pour ça. Faut le démontrer éventuellement a la main.

Remarque : et oui, l'étude de la série entière de Taylor elle est facile :D

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Re: Somme d'une série ( sympathique )

Message par mik2000 » 20 oct. 2019 16:07

Au fait, le programme de MP est ici :
https://prepas.org/index.php?article=56

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Re: Somme d'une série ( sympathique )

Message par mik2000 » 20 oct. 2019 23:53

Pour les gens passionnés par ce sujet passionnant , j'ai trouvé un sujet d annales sur cette mystérieuse fonction W, c'est maths1 E3A MP 2012. Voir le site de l UPS pour sujet.

SPOILER : le sujet admet aussi le Développement en 0 de ... W et il fait de drôles de trucs :mrgreen:

Ps 2 : je suis peut être le seul passionné :mrgreen:

Mik

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Re: Somme d'une série ( sympathique )

Message par autobox » 21 oct. 2019 12:49

Ca m'a toujours énormément frustré quand j'étais en prépa de devoir me cantonner à ce foutu programme. Souvent quand j'avais un problème à résoudre, je luttais avec moi-même car je devais à tout instant ne surtout pas faire de hors-programme. Ca me rendait fou toutes ces hypothèses de continuité inutiles dans les théorèmes, l'intégrale de Riemann, l'absence d'analyse complexe et de probas, et toutes les autres restrictions :x
D'un autre coté il fallait bien mettre une limite pour que tout le monde arrive avec à peu près le même contenu aux concours.

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