Majoration (1+a/n)^n sans utiliser les fonctions exponentielles et logarithmiques

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Majoration (1+a/n)^n sans utiliser les fonctions exponentielles et logarithmiques

Message par Vokaveokovastiç » 24 oct. 2019 23:59

Bonsoir à tous,

J'aimerais majorer la suite $ (1+\dfrac{a}{n})^n, a\in\mathbf{R_+},n\in\mathbf{N^*} $ (le $ a $ étant quelconque mais fixé), sans utiliser les fonctions exponentielles et logarithmiques (car je veux justement les définir à partir de la limite de cette quantité). Pour l'instant, je suis juste arrivé à $ (1+\frac{a}{n})^n\leq 1 + a + a^2/2 + a^3/2^2 + ... + a^n/2^{n-1} $ mais je ne sais pas quoi faire de plus. Sur un site je trouve que $ (1+\dfrac{a}{n})^n $ est majoré par $ \frac{2+a}{2-a} $, sur un autre forum on me dit que c'est bien évidemment majoré par $ \dfrac{1}{1-\frac{a}{2}}-1 $, mais ça me parait bizarre car quand $ a $ est supérieur à $ 2 $ on obtient un nombre négatif.

Je vous remercie de m'éclairer :?
Modifié en dernier par Vokaveokovastiç le 25 oct. 2019 01:48, modifié 3 fois.
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Re: Majoration (1+a/n)^n sans utiliser les fonctions exponentielles et logarithmiques

Message par lamdba » 25 oct. 2019 00:28

Si n est un entier naturel

Alors 1 + a/n < 1 + a et donc (1 + a/n)^n < (1 + a)^n.

Ainsi je pense que tu peux majorer par l’expression du binôme de Newton non ?

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Re: Majoration (1+a/n)^n sans utiliser les fonctions exponentielles et logarithmiques

Message par Vokaveokovastiç » 25 oct. 2019 00:35

Mais si a n’est pas nul (1+a)^n diverge non ?
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Re: Majoration (1+a/n)^n sans utiliser les fonctions exponentielles et logarithmiques

Message par autobox » 25 oct. 2019 00:36

lamdba a écrit :
25 oct. 2019 00:28
Si n est un entier naturel

Alors 1 + a/n < 1 + a et donc (1 + a/n)^n < (1 + a)^n.

Ainsi je pense que tu peux majorer par l’expression du binôme de Newton non ?
Je ne suis pas d'accord.
a = -1 et n = 2 donnerait 1-1/2 < 1-1


Edit : ok, j'avais lu a réel, alors que a est positif

Edit 2 : https://www.ilemaths.net/sujet-majorati ... 29107.html
Je savais bien que j'étais pas fou :)
Modifié en dernier par autobox le 25 oct. 2019 00:58, modifié 1 fois.

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Re: Majoration (1+a/n)^n sans utiliser les fonctions exponentielles et logarithmiques

Message par JeanN » 25 oct. 2019 00:56

Vokaveokovastiç a écrit :
24 oct. 2019 23:59
Bonsoir à tous,

J'aimerais majorer $ (1+\dfrac{a}{n})^n, a\in\mathbf{R_+},n\in\mathbf{N^*} $, sans utiliser les fonctions exponentielles et logarithmiques (car je veux justement les définir à partir de la limite de cette quantité). Pour l'instant, je suis juste arrivé à $ (1+\frac{a}{n})^n\leq 1 + a + a^2/2 + a^3/2^2 + ... + a^n/2^{n-1} $ mais je ne sais pas quoi faire de plus. Sur un site je trouve que $ (1+\dfrac{a}{n})^n $ est majoré par $ \frac{2+a}{2-a} $, sur un autre forum on me dit que c'est bien évidemment majoré par $ \dfrac{1}{1-\frac{a}{2}}-1 $, mais ça me parait bizarre car quand $ a $ est supérieur à $ 2 $ on obtient un nombre négatif.

Je vous remercie de m'éclairer :?
Tu veux majorer avec quel objectif ?
Si c'est pour te débarrasser de n, développe avec le binôme de Newton, majore par la somme des a^k/k! pour k=0..n puis montre que cette suite est elle même majorée en utilisant que a^k/k! est inférieur ou égal à 1/2^k dès que k est assez grand.
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Re: Majoration (1+a/n)^n sans utiliser les fonctions exponentielles et logarithmiques

Message par lamdba » 25 oct. 2019 01:02

autobox a écrit :
25 oct. 2019 00:36
lamdba a écrit :
25 oct. 2019 00:28
Si n est un entier naturel

Alors 1 + a/n < 1 + a et donc (1 + a/n)^n < (1 + a)^n.

Ainsi je pense que tu peux majorer par l’expression du binôme de Newton non ?
Je ne suis pas d'accord.
a = -1 et n = 2 donnerait 1-1/2 < 1-1


Edit : ok, j'avais lu a réel, alors que a est positif

Edit 2 : https://www.ilemaths.net/sujet-majorati ... 29107.html
Je savais bien que j'étais pas fou :)

Tout à fait d’accord, mais il a précisé que a est un réel positif dans l’énoncé.

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Re: Majoration (1+a/n)^n sans utiliser les fonctions exponentielles et logarithmiques

Message par lamdba » 25 oct. 2019 01:06

autobox a écrit :
25 oct. 2019 00:36
lamdba a écrit :
25 oct. 2019 00:28
Si n est un entier naturel

Alors 1 + a/n < 1 + a et donc (1 + a/n)^n < (1 + a)^n.

Ainsi je pense que tu peux majorer par l’expression du binôme de Newton non ?
Je ne suis pas d'accord.
a = -1 et n = 2 donnerait 1-1/2 < 1-1


Edit : ok, j'avais lu a réel, alors que a est positif

Edit 2 : https://www.ilemaths.net/sujet-majorati ... 29107.html
Je savais bien que j'étais pas fou :)

Donc si a est positif, vous êtes d’accord avec la majoration par le binôme de Newton, ou vous pensez qu’il y a plus "simple " ?

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Re: Majoration (1+a/n)^n sans utiliser les fonctions exponentielles et logarithmiques

Message par Vokaveokovastiç » 25 oct. 2019 01:46

autobox a écrit :
25 oct. 2019 00:36

Edit 2 : https://www.ilemaths.net/sujet-majorati ... 29107.html
Je savais bien que j'étais pas fou :)
Comme on me prend de haut à chaque fois que je pose une question sur ce forum j'ai préféré venir ici :wink: (d'ailleurs avec les conseils de JeanN et lambda je pense avoir réussi, je vous partage ma réponse dès que je suis sûr d'avoir réussi).
JeanN a écrit :
25 oct. 2019 00:56
Tu veux majorer avec quel objectif ?
Si c'est pour te débarrasser de n, développe avec le binôme de Newton, majore par la somme des a^k/k! pour k=0..n puis montre que cette suite est elle même majorée en utilisant que a^k/k! est inférieur ou égal à 1/2^k dès que k est assez grand.
Oui c'est ça, c'est pour me débarrasser des n (le a étant fixé), désolé de ne pas avoir été plus explicite ! L'objectif c'est de montrer que la suite converge (j'ai déjà la croissance), puis ensuite j'ai de quoi faire avec d'autres résultats que j'ai montrés dans mon DM pour généraliser aux complexes.

Merci beaucoup !
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Re: Majoration (1+a/n)^n sans utiliser les fonctions exponentielles et logarithmiques

Message par V@J » 31 oct. 2019 09:15

Bonjour,

Tu avais en fait déjà fait la quasi-totalité du travail. En effet, pour $ a < 2 $, tu affirmes avoir démontré que
$ (1+\frac{a}{n})^n\leqslant 1 + a + a^2/2 + a^3/2^2 + ... + a^n/2^{n-1} $. Mais le membre de droite ressemble fort à une somme de série géométrique, de sorte que
$$ (1+\frac{a}{n})^n\leqslant 1 + a + a^2/2 + a^3/2^2 + ... + a^n/2^{n-1} \leqslant 1 + a \sum_{k \geqslant 0}(a/2)^k = 1 + a / (1-a/2) = (2+a)/(2-a), $$ comme on te l'avait affirmé sur un autre site. Évidemment, cette majoration n'a de sens que si $ a < 2 $, puisque dans les autres cas ta série géométrique tend vers $ +\infty $.

Maintenant, si $ a \geqslant 2 $, on va poser $ A = \lceil a \rceil $, c'est-à-dire le plus petit entier supérieur ou égal à $ A $. Alors
$ 1+a/n \leqslant 1+A/n \leqslant (1+1/n)^A $, donc
$$ (1+a/n)^n \leqslant (1+1/n)^{An} \leqslant 3^A, $$ ce qui conclut.
SPOILER:
Accessoirement, on peut aussi noter, pour $ a < 1 $ que tu aurais pu invoquer le fait que $ (1+a/n) (1-a/n) = 1-a^2/n^2 \leqslant 1 $ et que $ (1-u)(1-v) \geqslant 1-(u+v) $ dès lors que $ 0 \leqslant u, v, u+v \leqslant 1 $. En effet, en itérant cette dernière inégalité $ n $ fois, on constate que $ (1-a/n)^n \geqslant 1-a $ dès lors que $ a < 1 $, et on en déduit que
$$ (1+a/n)^n \leqslant 1 / (1-a/n)^n \leqslant 1/(1-a), $$ ce qui nous permet d'adapter le raisonnement que j'ai présenté précédemment. Cette fois-ci, cependant, on va devoir utiliser le fait que $ (1+a/n)^n \leqslant (1+(1/2)/n)^{2An} \leqslant 2^{2A} $.

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