Somme des racines des polynômes cyclotomiques

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Somme des racines des polynômes cyclotomiques

Message par Tristan33 » 27 oct. 2019 04:31

Salut à tous,

Je cherche à calculer la somme des racines d'un polynôme cyclotomique.

Je vais noter $ \forall n \in N, S_{n} $ cette somme.

J'ai réussi à calculer cette somme pour n premier ou n puissance d'un certain nombre premier.

Pour conclure (montrer que c'est la fonction $ \mu $) j'ai besoin de démontrer que S est multiplicative (ie si p et q sont premiers entre eux alors $ S_{p} \times S_{q} = S_{pq} $)

J'ai regardé si c'était vrai avant de commencer, et ça l'est selon Python :D

Du coup j'ai voulu montrer que $ \Phi_{p} \times \Phi_{q} = \Phi_{pq} $ pour p et q premiers et où $ \Phi_n $ désigne le nieme polynôme cyclotomique.
C'est faux : $ \Phi_{2} \times \Phi_{3} $ n'est pas égal à $ \Phi_{6} $

Avez-vous une quelconque idée pour montrer que S est multiplicative ?

Merci

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Re: Somme des racines des polynômes cyclotomiques

Message par BobbyJoe » 27 oct. 2019 09:26

Pour $n\geq 1,$ notons $\displaystyle S_{n}=\sum_{k\in\{0,\ldots,n-1\};k\wedge n=1}\omega_{n}^{k}$ où $\displaystyle w_{n}=\exp(\frac{2i\pi}{n}).$
En utilisant le lemme/théorème des restes chinois, il est alors accesible de montrer que $(S_{n})_{n\geq 1}$ est multiplicative.

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Re: Somme des racines des polynômes cyclotomiques

Message par Nabuco » 27 oct. 2019 09:45

Éventuellement tu peux faire une récurrence et utiliser la décomposition de X^n-1 en produit de cyclotomiques

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Re: Somme des racines des polynômes cyclotomiques

Message par Tristan33 » 27 oct. 2019 14:07

BobbyJoe a écrit :
27 oct. 2019 09:26
Pour $n\geq 1,$ notons $\displaystyle S_{n}=\sum_{k\in\{0,\ldots,n-1\};k\wedge n=1}\omega_{n}^{k}$ où $\displaystyle w_{n}=\exp(\frac{2i\pi}{n}).$
En utilisant le lemme/théorème des restes chinois, il est alors accesible de montrer que $(S_{n})_{n\geq 1}$ est multiplicative.
Je n'arrive à correctement formaliser votre idée.
$ S_{p*q}=\sum \limits_{\underset{k \wedge p=1;}{j \wedge q=1;}{0 \leq j <q;}{0 \leq k <p;}} \omega_{pq}^{kq+jp} $

Si on prend j et k tels qu'il apparaissent dans l'indexage, alors en "posant" $ l = kq+jp $ on obtient $ l = k ~ mod(n) $ et $ l = j ~ mod(m) $
Comme m et n sont premiers entre eux, on peut appliquer le lemme des restes chinois mais j'ai du mal à voir comment écrire ça correctement...
Merci

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Re: Somme des racines des polynômes cyclotomiques

Message par Tristan33 » 27 oct. 2019 14:08

Nabuco a écrit :
27 oct. 2019 09:45
Éventuellement tu peux faire une récurrence et utiliser la décomposition de X^n-1 en produit de cyclotomiques
Mais une récurrence sur quoi ?

Je fixe m et je le fais sur les nombres premiers avec m ?

Merci

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Re: Somme des racines des polynômes cyclotomiques

Message par BobbyJoe » 27 oct. 2019 14:56

Utilise le fait suivant pour $a\wedge b=1$ :
\begin{align*}
(\mathbb{Z}/a\mathbb{Z})^{*}\times (\mathbb{Z}/b\mathbb{Z})^{*} & \longrightarrow (\mathbb{Z}/ab\mathbb{Z})^{*}\\
(k,j) & \longmapsto (kb+ja)
\end{align*}
est une bijection (et ainsi tu pourras réindicer proprement ta somme).
Au passage, sais-tu que l'indicatrice d'Euler est multiplicative?

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Re: Somme des racines des polynômes cyclotomiques

Message par Tristan33 » 27 oct. 2019 15:13

Oui c'est dans mon cours que l'indicatrice est multiplicative
Merci encore

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Re: Somme des racines des polynômes cyclotomiques

Message par Nabuco » 27 oct. 2019 19:15

Tristan33 a écrit :
27 oct. 2019 14:08
Nabuco a écrit :
27 oct. 2019 09:45
Éventuellement tu peux faire une récurrence et utiliser la décomposition de X^n-1 en produit de cyclotomiques
Mais une récurrence sur quoi ?

Je fixe m et je le fais sur les nombres premiers avec m ?

Merci
Non tu montres que par récurrence forte Sn vaut mu (n) en utilisant la factorisation de X^n-1 et les relations coefficients racines tu obtiens facilement une relation de récurrence sur Sn

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Re: Somme des racines des polynômes cyclotomiques

Message par Tristan33 » 28 oct. 2019 16:09

@Nabuco
Ah d'accooord
merci

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