étude fonction

[lamdba]

Bonjour
Soit f : R->R tq f est croissante et f•f=identité comment peut-on montrer que f=id ?
J’ai pensé à faire une analyse synthèse, seulement je trouve qu’il manque des informations pour aboutir au résultat (qui semble logique ma foi).
Par ailleurs, y a t-il unicité du résultat ?

[Nabuco]

Montre que f est strictement croissante et suppose que f(x)>x, que peux-tu en déduire ?

[lamdba]

f•f est strictement croissante (car f•f = id) alors f l’est également et si f(x)>x alors f•f(x)> f(x) (car f est stricte croissante).
Donc x>f(x) (f•f(x) = x) ce qui est absurde car on a f(x) > x et x > f(x).
En faisant le même raisonnement en supposant x>f(x) on obtient également une absurdité et donc f=id.
Vous en pensez quoi ?
Cela prouve l’unicité ?

[Nabuco]

f•f est strictement croissante (car f•f = id) alors f l’est également et si f(x)>x alors f•f(x)> f(x) (car f est stricte croissante).
Donc x>f(x) (f•f(x) = x) ce qui est absurde car on a f(x) > x et x > f(x).
En faisant le même raisonnement en supposant x>f(x) on obtient également une absurdité et donc f=id.
Vous en pensez quoi ?
Cela prouve l’unicité ?

Cela montre que f est l'identité.

[JeanN]

Bonjour
Soit f : R->R tq f est croissante et f•f=identité comment peut-on montrer que f=id ?
J’ai pensé à faire une analyse synthèse, seulement je trouve qu’il manque des informations pour aboutir au résultat (qui semble logique ma foi).
Par ailleurs, y a t-il unicité du résultat ?

Prend f et g croissantes, etc.
Alors f=id et g=id donc f=g : fin de la preuve de l’unicité.