limite d'une suite

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limite d'une suite

Message par Vokaveokovastiç » 29 oct. 2019 16:35

Bonjour à tous,

Je sais qu'une suite $ (u_n) $ admet une limite nulle, et je dois en déduire que la limite (en $ +\infty $) de cette suite : $ (1+\frac{u_n}{n})^n $ vaille $ 1 $. Au départ, je me suis dit que cela n'était qu'une simple composition de fonctions. J'ai alors défini $ f(z)=(1+\frac{z}{n})^n $ puis j'ai considéré $ f(u_n) $. Comme $ \lim\limits_{z \rightarrow 0} f(z)=1^n=1 $, alors par composition $ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (1+\frac{u_n}{n})^n=1 $. Mais j'ai l'impression que ce n'est pas aussi simple, notamment à cause du fait que $ f $ soit paramétrée par $ n $ et que donc on obtienne $ \lim\limits_{z \rightarrow 0} f(z)=1^{\infty} $ ...

Est-ce qu'avec les seuls éléments que je vous ai donné je peux tout de même en déduire la limite de ma suite ? J'avais sinon pensé à un encadrement.

Merci pour vos réponses !
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Re: limite d'une suite

Message par Nabuco » 29 oct. 2019 16:57

non à priori ce que tu dis ne marche pas. Si ta suite est réelle considère le ln de ta suite. Si elle est complexe ramène toi au cas où elle est à valeurs réelles

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Re: limite d'une suite

Message par Vokaveokovastiç » 29 oct. 2019 17:03

Nabuco a écrit :
29 oct. 2019 16:57
non à priori ce que tu dis ne marche pas. Si ta suite est réelle considère le ln de ta suite. Si elle est complexe ramène toi au cas où elle est à valeurs réelles
D'accord merci ! Du coup, le théorème de composition des limites avec une suite $ u_n $ et une fonction paramétrée par $ n $ n'est pas forcément valide, c'est ça ?

Edit : ou alors il marche et $ 1^{+\infty} $ serait une forme indéterminée, ce qui me parait bizarre car $ 1\leq1^n\leq1 $ donc par encadrement $ 1^n $ tendrait vers $ 1 $ ...
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Re: limite d'une suite

Message par matmeca_mcf1 » 29 oct. 2019 17:24

$ 1^{+\infty} $ est une forme indéterminée.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: limite d'une suite

Message par Vokaveokovastiç » 29 oct. 2019 17:33

matmeca_mcf1 a écrit :
29 oct. 2019 17:24
$ 1^{+\infty} $ est une forme indéterminée.
Par conséquent pourriez-vous m'expliquer pourquoi compte tenu de l'argument (par la même faux) que j'ai évoqué dans mon précédent message svp ?
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Re: limite d'une suite

Message par matmeca_mcf1 » 29 oct. 2019 17:41

Partons de $ (u_n)^{v_n} $ avec
  • $ u_n $ convergeant vers $ 1 $ quand $ n $ tend vers $ +\infty $
  • $ v_n $ convergeant vers $ +\infty $ quand $ n $ tend vers $ +\infty $
Votre argument assume que $ u_n $ vaut $ 1 $ à partir d'un certain rang ce qui est beaucoup plus fort que la convergence vers $ 1 $.

Quelle est la limite de $ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n $?
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Re: limite d'une suite

Message par Vokaveokovastiç » 29 oct. 2019 17:56

matmeca_mcf1 a écrit :
29 oct. 2019 17:41
Partons de $ (u_n)^{v_n} $ avec
  • $ u_n $ convergeant vers $ 1 $ quand $ n $ tend vers $ +\infty $
  • $ v_n $ convergeant vers $ +\infty $ quand $ n $ tend vers $ +\infty $
Votre argument assume que $ u_n $ vaut $ 1 $ à partir d'un certain rang ce qui est beaucoup plus fort que la convergence vers
Oh je viens de comprendre merci : $ 1^{n} $ va forcément tendre vers $ 1 $, mais là n'est pas la question puisque lorsqu'on parle de "forme" $ 1^{\infty} $, on parle en terme de limites de suites qui tendent donc vers l'infini et un.
matmeca_mcf1 a écrit :
29 oct. 2019 17:41
Quelle est la limite de $ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n $?
Il s'agit de $ e $.

Bonne fin de journée.
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