Norme Triple

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Norme Triple

Message par martidocfly » 29 oct. 2019 19:22

Bonjour ,
J'ai une confusion par rapport à la définition de la norme triple (à la limite du programme prépa...). Pour A dans Mn(R/C), il s'agit de la borne supérieur
de {||Ax||/||x||}, pour tout vecteur non nul x de R^n.
Cette norme ||.|| correspond à quelle norme exactement ?
(Je sais qu'en dimension finie, les normes sont équivalentes, mais ça ne veut pas dire qu'on aura les mêmes valeurs selon les différentes normes...)

Merci

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Re: Norme Triple

Message par BobbyJoe » 29 oct. 2019 19:40

Tu as bien raison!
Le plus souvent la norme sous-jacente est $ $$\|.\|_{1},\|.\|_{\infty}$ ou $\|.\|_{2}$ (sans doute le choix le plus courant)

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Re: Norme Triple

Message par autobox » 29 oct. 2019 19:48

En fait il y a non pas une mais deux normes car il y a deux espaces vectoriels normés (de Banach si complets) $ E $ et $ F $ et un opérateur (application linéaire) $ T : E\rightarrow F $
et $ |||T||| := \sup\limits_{x\in E\\\{0\}}\frac{||T(x)||_F}{||x||_E} = \sup\limits_{||x||_E\leq 1}||T(x)||_F $ est, quand il existe (c'est-à-dire quand T est borné (ou continu si tu préfères)), le plus petit réel $ C $ tq $ ||T(x)||_F \leq C ||x||_E $ pour tout $ x\in E $

Et attention, il peut exister sans être atteint en dimension infinie

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Re: Norme Triple

Message par JeanN » 29 oct. 2019 20:18

martidocfly a écrit :
29 oct. 2019 19:22
Bonjour ,
J'ai une confusion par rapport à la définition de la norme triple (à la limite du programme prépa...). Pour A dans Mn(R/C), il s'agit de la borne supérieur
de {||Ax||/||x||}, pour tout vecteur non nul x de R^n.
Cette norme ||.|| correspond à quelle norme exactement ?
(Je sais qu'en dimension finie, les normes sont équivalentes, mais ça ne veut pas dire qu'on aura les mêmes valeurs selon les différentes normes...)

Merci
Il n’y a effectivement pas unicité de la norme triple. Le mieux pour toi sera de bien suivre les directives d’un éventuel énoncé qui en parlerait.
Professeur de maths MPSI Lycée Sainte-Geneviève

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