Applications linéaires
Applications linéaires
Bonjour,
Voici l'énoncé de l'exercice qui me pose problème:
Soit f appartenant à L(E) tel que pour tout x appartenant à E, x et f(x) soient colinéaires.
Montrer que f est une homothétie vectorielle.
La réponse n'est-elle pas contenue dans la formulation même de l'énoncé ? Si x et f(x) sont colinéaires, cela signifie qu'il existe un unique L tel que f(x)=L*x ?
Merci par avance pour votre aide.
Voici l'énoncé de l'exercice qui me pose problème:
Soit f appartenant à L(E) tel que pour tout x appartenant à E, x et f(x) soient colinéaires.
Montrer que f est une homothétie vectorielle.
La réponse n'est-elle pas contenue dans la formulation même de l'énoncé ? Si x et f(x) sont colinéaires, cela signifie qu'il existe un unique L tel que f(x)=L*x ?
Merci par avance pour votre aide.
Re: Applications linéaires
Dans votre énoncé, L dépend de x. Il faut justement montrer qu'il en est indépendant (passer de "pour tout x, il existe L tel que f(x)=L*x" à "il existe L tel que pour tout x, f(x)=L*x" est tout sauf gratuit).
Professeur de mathématiques et d'informatique en PCSI au lycée Champollion.
Re: Applications linéaires
D'accord j'ai compris. En prenant deux vecteurs x et y , il va donc falloir distinguer deux cas : l'un où (x,y) est liée et l'autre où (x,y) est libre ?
Re: Applications linéaires
C'est l'idée !
Lycée Édouard Branly 2015-2018
LLG HX1 2018-2019
LLG MP*3 2019-2020
Ulm 2020-?
LLG HX1 2018-2019
LLG MP*3 2019-2020
Ulm 2020-?
Re: Applications linéaires
Peut-on démontrer ce résultat en introduisant une base $ (e_{i})_{i\in I} $ de $E$ (qui existe peu importe si $E$ est de dimension finie ou infinie) ?
Ensimag Grenoble
Re: Applications linéaires
Il est préférable d'éviter le recours aux bases en dimension infinie.
En plus, le travail n'est pas tellement plus simplifié car le cas des vecteurs liés qui n'est plus à traiter n'est pas le plus difficile.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève