Fonction convexe

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Fonction convexe

Message par Bidoof » 05 nov. 2019 12:39

Bonjour,
$ $
Le graphe d'une fonction convexe est un ensemble convexe du plan $R^{2}$.
Que dire du graphe d'une fonction strictement convexe ? Et deuxièmement, même si c'est probablement liée, l'égalité $f(tx+(1-t)y) = tf(x)+(1-t)f(y)$ pour un certain $t \in [0,1]$ se voit-elle sur le graphe d'une fonction ?

Merci beaucoup !

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Re: Fonction convexe

Message par autobox » 05 nov. 2019 15:10

Bonjour,
C'est l'épigraphe de la fonction, qui est convexe. Il y a une notion d'épigraphe strict qui correspond aux fonctions strictment convexes. On peut aussi étendre la définition pour des fonctions qui prennent la valeur $ \infty $.
Au sujet de la dernière égalité, je ne comprends pas trop ce que tu veux dire.
Si tu voulais dire $ \forall t\in[0,1], \forall x,y, f(tx+(1-t)y) = tf(x)+(1-y)f(y) $, cela signifie que la fonction $ f $ est à la fois convexe et concave : son graphe est une droite, et $ f $ est affine

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Re: Fonction convexe

Message par JeanN » 05 nov. 2019 20:34

Bidoof a écrit :
05 nov. 2019 12:39
Bonjour,
$ $
Le graphe d'une fonction convexe est un ensemble convexe du plan $R^{2}$.
Que dire du graphe d'une fonction strictement convexe ? Et deuxièmement, même si c'est probablement liée, l'égalité $f(tx+(1-t)y) = tf(x)+(1-t)f(y)$ pour un certain $t \in [0,1]$ se voit-elle sur le graphe d'une fonction ?

Merci beaucoup !
Oui pour la dernière question. Les points du graphe d’abscisse x, y et tx +(1-t)y sont alignés
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Re: Fonction convexe

Message par Bidoof » 06 nov. 2019 12:37

Oui je voulais dire epigraphe.

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Re: Fonction convexe

Message par Bidoof » 06 nov. 2019 12:39

Les points (x,f(x)), (y,f(y)) et (tx+(1-t)y,f(tx+(1-t)y) sont alignés.
ok merci !

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