DM arithmétique MPSI

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Message par Booléen » 05 nov. 2019 16:21

Bonjour,
J'ai la question suivante dans mon DM et je n'y arrive absolument pas : je dois montrer que, pour tous p, q nombres premiers distincts $ \frac{p^{q}-1}{p-1} \nmid \frac{q^{p}-1}{q-1} $.
J'ai essayé un raisonnement par l'absurde et j'ai utilisé le petit théorème de Fermat, j'arrive à montrer le cas p=2, mais je n'ai aucune idée de comment faire le cas général.

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Re: DM arithmétique MPSI

Message par JeanMP » 05 nov. 2019 17:16

Bonjour,
Raisonnons effectivement par l'absurde et notons $d$ l'entier tel que $d\frac{p^q-1}{p-1}=\frac{q^p-1}{q-1}$.
Alors tu peux montrer que $d$ est congru à 1 modulo $pq$. À ce moment là, en écrivant sous une autre forme le nombre $\frac{p^q-1}{p-1}$, tu devrais réussir à montrer que $p$ divise $q$. Tu peux alors conclure.

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Re: DM arithmétique MPSI

Message par Booléen » 05 nov. 2019 17:38

Bonjour,
Raisonnons effectivement par l'absurde et notons $d$ l'entier tel que $d\frac{p^q-1}{p-1}=\frac{q^p-1}{q-1}$.
Alors tu peux montrer que $d$ est congru à 1 modulo $pq$.

Oui, c'est comme ça que j'avais procédé.

À ce moment là, en écrivant sous une autre forme le nombre $\frac{p^q-1}{p-1}$, tu devrais réussir à montrer que $p$ divise $q$. Tu peux alors conclure.
Qu'entends tu par "autre forme"?

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Re: DM arithmétique MPSI

Message par JeanMP » 05 nov. 2019 17:44

En fait j'avais cru un instant que réécrire la fraction sous la forme d'une somme géométrique permettait de conclure.

Mais ça ne fonctionne pas aussi bien que ce que j'espérais...
Modifié en dernier par JeanMP le 07 nov. 2019 22:45, modifié 1 fois.

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Re: DM arithmétique MPSI

Message par JeanN » 06 nov. 2019 14:42

Booléen a écrit :
05 nov. 2019 16:21
Bonjour,
J'ai la question suivante dans mon DM et je n'y arrive absolument pas : je dois montrer que, pour tous p, q nombres premiers distincts $ \frac{p^{q}-1}{p-1} \nmid \frac{q^{p}-1}{q-1} $.
J'ai essayé un raisonnement par l'absurde et j'ai utilisé le petit théorème de Fermat, j'arrive à montrer le cas p=2, mais je n'ai aucune idée de comment faire le cas général.
Quelles sont les questions précédentes (et suivantes) ?
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Re: DM arithmétique MPSI

Message par Booléen » 06 nov. 2019 15:35

Quelles sont les questions précédentes (et suivantes) ?
La question est indépendante des autres questions, et c'est la seule qui me pose problème.

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Re: DM arithmétique MPSI

Message par JeanN » 07 nov. 2019 01:10

Booléen a écrit :
06 nov. 2019 15:35
Quelles sont les questions précédentes (et suivantes) ?
La question est indépendante des autres questions, et c'est la seule qui me pose problème.
Merci pour l’info.
Et du coup quelles sont les questions précédentes (et suivantes) ?
En d’autres termes, peux-tu nous montrer le sujet complet ?
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Re: DM arithmétique MPSI

Message par Booléen » 07 nov. 2019 13:30

JeanN a écrit :
07 nov. 2019 01:10
Booléen a écrit :
06 nov. 2019 15:35
Quelles sont les questions précédentes (et suivantes) ?
La question est indépendante des autres questions, et c'est la seule qui me pose problème.
Merci pour l’info.
Et du coup quelles sont les questions précédentes (et suivantes) ?
En d’autres termes, peux-tu nous montrer le sujet complet ?
Je vois pas vraiment à quoi ça avance si toutes les questions sont indépendantes

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Re: DM arithmétique MPSI

Message par JeanN » 07 nov. 2019 17:53

Booléen a écrit :
07 nov. 2019 13:30
JeanN a écrit :
07 nov. 2019 01:10
Booléen a écrit :
06 nov. 2019 15:35


La question est indépendante des autres questions, et c'est la seule qui me pose problème.
Merci pour l’info.
Et du coup quelles sont les questions précédentes (et suivantes) ?
En d’autres termes, peux-tu nous montrer le sujet complet ?
Je vois pas vraiment à quoi ça avance si toutes les questions sont indépendantes
Par curiosité
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