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Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Posté : 10 nov. 2019 13:05
par gloomy
Bonjour,
Je bloque fortement sur une question d’un exercice:
On a une fonction définie par: F(x)= intégrale de 0 à 1 de (dt/t^3+t+x) avec x un réel >0
La question est: démontrer que F(x)~(-ln(x)) quand x tend vers 0
Sachant que je suis en mpsi et qu’il y a beaucoup d’outils que je n’ai pas le droit d’utiliser puisque pas encore vus... on a pas encore vraiment vu les intégrales dépendant d’un paramètre officiellement
Dans les questions d’avant on a montré que F(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0
Et j’ai réussi à montrer que 1/2<=F(x)/lnx <=1
Je ne sais pas si je devrais essayer de minorer par quelque chose qui tend aussi vers 1, ou si ce n’est pas du tout la bonne technique

Merci d’avance, je ne sais pas si j’ai été clair

Re: Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Posté : 10 nov. 2019 14:09
par autobox
Bonjour,
gloomy a écrit :
10 nov. 2019 13:05
La question est: démontrer que F(x)~(-ln(x)) quand x tend vers 0
contredit

gloomy a écrit :
10 nov. 2019 13:05
Dans les questions d’avant on a montré que F(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0

qui contredit
gloomy a écrit :
10 nov. 2019 13:05
j’ai réussi à montrer que 1/2<=F(x)/lnx <=1

Re: Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Posté : 10 nov. 2019 14:11
par gloomy
La question exacte est: montrer que F(x)/(-ln(x)) tend vers 1 lorsque x tend vers 0

Re: Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Posté : 10 nov. 2019 14:14
par gloomy
J’ai montré que 1/2<= F(x)/-ln(x) <= 1
J’ai oublié le signe -

Re: Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Posté : 10 nov. 2019 14:25
par autobox
Oui, mais je voulais dire que F tend vers l'infini en 0, et pas vers 0.
As-tu essayé de faire un changement de variable t->1/t pour te ramener à une intégrale entre 1 et l'infini, pour la comparer à une série ?

Re: Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Posté : 10 nov. 2019 14:34
par gloomy
Ah oui oui bien sûr
A vouloir donner des indices concernant les questions précédentes j’écris n'importe quoi
Je n’ai pas vu les séries encore donc je pense que le prof attend quelque chose sans les utiliser

Re: Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Posté : 10 nov. 2019 19:19
par gloomy
Personne?😢

Re: Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Posté : 10 nov. 2019 19:43
par JeanN
Pose g(x) = l’intégrale de 1/(t+x) dt entre 0 et 1 et essaye de montrer que f(x) - g(x) est bornée

Re: Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Posté : 10 nov. 2019 19:59
par autobox
JeanN a écrit :
10 nov. 2019 19:43
Pose g(x) = l’intégrale de 1/(t+x) dt entre 0 et 1 et essaye de montrer que f(x) - g(x) est bornée
C'est malin comme idée, j'aime bien ça :)

Re: Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Posté : 10 nov. 2019 21:31
par gloomy
Je trouve que c’est majoré par 0 et minoré par -1/(2+x)(1+x) et donc -1/2, mais je ne vois pas ce que cela m’apporte de plus, ou alors je n’ai rien compris à votre indication...