Dm suites et limites, raisonnement par l'absurde

[VeloursPourpre]

Bonjour,
J'ai un DM de maths à rendre pour demain. Tout allait bien jusqu'à une partie de l'exercice, qui suppose un raisonnement par l'absurde difficile avec des questions intermédiaires pour nous guider, mais je n'y arrive pas. Votre aide est donc la bienvenue !

C'est un exercice assez long, je vous récapitule donc les données trouvées avant :
DONNEES : Sn = Somme de k=1 à n de (1/k)
1/x inférieur ou égal à ln(x)-ln(x-1) pour x>1
1/x supérieur ou égal à ln(x+1)-ln(x)
Sn supérieur ou égal à ln(n+1) supérieur ou égal à ln(n)
un+1 = un(1-un) (c'est bien un+1 avec n+1 en indice et non un + 1 )
0<un<1(n+1)
un converge vers 0
vn=nun
vn converge vers u réel L qui appartient à ]0;1]
wn=n(vn+1 - vn)
wn=vn- (n+1/n)*(vn)²
wn converge vers L(1-L)


ENONCE (à partir de l'endroit où je bloque)
On suppose L différent de 1. On admet que si (un) converge vers a>0 alors il existe n0 entier naturel pour lequel pour tout n supérieur ou égal à n0, un supérieur ou égal à a/2
[*] Montrer alors qu'il existe un rang n0 tel que pour tout n supérieur ou égal à n0,
vn+1 - vn supérieur ou égal à (L(1-L))/2n

[*] En déduire que vn-vn0 supérieur ou égal à (L(1-L)/2)*(Sn-1 - Sn0-1) (avec n-1 en indice et n0-1 en indice)

[*] En déduire que L=1

[*] Proposer finalement un équivalent de un.



Merci beaucoup pour votre aide. Jusque là, je n'avais pas rencontré de difficultés majeures dans le DM, mais concernant ces questions je ne sais absolument pas quoi faire.

[JeanMP]

$ $Bonsoir,
Pour la première question, utilise simplement ce que l'énoncé admet et la relation $w_n = n(v_{n+1}-v_n)$.
Pour la deuxième, essaye d'utiliser une somme télescopique pour exprimer $v_n - v_{n_0}$.

Pour le reste, il serait bénéfique que tu apprennes des rudiments de Latex pour gagner en clarté et donner envie aux autres de t'aider.