Injection, Surjection
Injection, Surjection
Bonsoir,
Je suis en MPSI et j'ai une question sur une démo qui me semble fausse mais je n'arrive pas à trouver l'erreur:
On a g(f(x))=x
On suppose g(f(x1))=g(f(x2))
g(f(x1))=x1
g(f(x2))=x2
donc x1=x2
x1=x2 => f(x1)=f(x2)
On en conclu que g(f(x1))=g(f(x2)) => f(x1)=f(x2)
donc g est injective
Ca me semble faux mais je ne sais pas où est mon erreur
Je suis en MPSI et j'ai une question sur une démo qui me semble fausse mais je n'arrive pas à trouver l'erreur:
On a g(f(x))=x
On suppose g(f(x1))=g(f(x2))
g(f(x1))=x1
g(f(x2))=x2
donc x1=x2
x1=x2 => f(x1)=f(x2)
On en conclu que g(f(x1))=g(f(x2)) => f(x1)=f(x2)
donc g est injective
Ca me semble faux mais je ne sais pas où est mon erreur
Re: Injection, Surjection
Ce n'est pas parce que g(f(x1))=g(f(x2)) implique f(x1)=f(x2) que g est injective, il faudrait que f soit surjective (ce qui n'est pas forcément le cas : par exemple prends f=arctan g=tan (prolongée par 0 or -pi/2, pi/2), f n'est pas surjective, g n'est pas injective, g(f(x))=x pour tout réel x)
Re: Injection, Surjection
Et sinon dans quel cas g(f(x))=x => g injective
Re: Injection, Surjection
Pourtant dans mon cours :Nabuco a écrit : ↑04 janv. 2020 18:25Ce n'est pas parce que g(f(x1))=g(f(x2)) implique f(x1)=f(x2) que g est injective, il faudrait que f soit surjective (ce qui n'est pas forcément le cas : par exemple prends f=arctan g=tan (prolongée par 0 or -pi/2, pi/2), f n'est pas surjective, g n'est pas injective, g(f(x))=x pour tout réel x)
f une application de E dans F
f est injective ssi
Pour tout x1,x2 appartenant à E f(x1)=f(x2) => x1=x2
On ne parle pas de surjection
Re: Injection, Surjection
Je comprends pas pourquoi g(f(x1))=g(f(x2)) => f(x1)=f(x2) ne nous permet pas de dire que g est injective
Re: Injection, Surjection
Relis le message pour la surjectivité, tu n'as pas du tout comprendre.Hadrien_Xeawon a écrit : ↑04 janv. 2020 18:30Pourtant dans mon cours :Nabuco a écrit : ↑04 janv. 2020 18:25Ce n'est pas parce que g(f(x1))=g(f(x2)) implique f(x1)=f(x2) que g est injective, il faudrait que f soit surjective (ce qui n'est pas forcément le cas : par exemple prends f=arctan g=tan (prolongée par 0 or -pi/2, pi/2), f n'est pas surjective, g n'est pas injective, g(f(x))=x pour tout réel x)
f une application de E dans F
f est injective ssi
Pour tout x1,x2 appartenant à E f(x1)=f(x2) => x1=x2
On ne parle pas de surjection
Je suis d'accord sur la définition d'injectivité, mais là tu as montré que g(f(x1))=g(f(x2)) implique f(x1)=f(x2) ce qui n'est pas la même chose que la définition de l'injectivité. Si par exemple f est la fonction nulle (ce qui n'est pas possible dans ton cas) tu vois bien que tu ne prouves pas l'injectivité de g. Regarde l'exemple que j'ai donné pour f et g pour voir pourquoi ce n'est pas vrai (par exemple prends f=arctan g=tan (prolongée par 0 or -pi/2, pi/2), f n'est pas surjective, g n'est pas injective, g(f(x))=x pour tout réel x)
Re: Injection, Surjection
Je vois bien que c'est faux mais je comprend pas pourquoi. Je n'arrive pas à trouver ce qui fait que ma démo est fausse.
Je ne comprend pas pourquoi ce n'est pas la même chose que la définition de l'injectivité.
Je ne comprend pas pourquoi ce n'est pas la même chose que la définition de l'injectivité.
Re: Injection, Surjection
Imagine que f est la fonction nulle et regarde ce que ça donne. Là tu montres que g restreinte à l'image de f est injective, si f n'a pas son image valant tout l'ensemble il n'y a pas de raison que g soit injective.Hadrien_Xeawon a écrit : ↑04 janv. 2020 18:40Je vois bien que c'est faux mais je comprend pas pourquoi. Je n'arrive pas à trouver ce qui fait que ma démo est fausse.
Je ne comprend pas pourquoi ce n'est pas la même chose que la définition de l'injectivité.
Re: Injection, Surjection
Mais dans mon cas f n'est pas la fonction nulle
Re: Injection, Surjection
f : R+ -> R
x -> racine de x
g : R -> R+
x -> x²
gof(x)= x et f n'est pas bijective de R+ vers R et g n'est pas bijective de R vers R+ donc g n'est pas injective puisque g est surjective
x -> racine de x
g : R -> R+
x -> x²
gof(x)= x et f n'est pas bijective de R+ vers R et g n'est pas bijective de R vers R+ donc g n'est pas injective puisque g est surjective