Injection, Surjection

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Injection, Surjection

Message par Hadrien_Xeawon » 04 janv. 2020 18:21

Bonsoir,

Je suis en MPSI et j'ai une question sur une démo qui me semble fausse mais je n'arrive pas à trouver l'erreur:

On a g(f(x))=x

On suppose g(f(x1))=g(f(x2))
g(f(x1))=x1
g(f(x2))=x2

donc x1=x2
x1=x2 => f(x1)=f(x2)

On en conclu que g(f(x1))=g(f(x2)) => f(x1)=f(x2)
donc g est injective

Ca me semble faux mais je ne sais pas où est mon erreur

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Re: Injection, Surjection

Message par Nabuco » 04 janv. 2020 18:25

Ce n'est pas parce que g(f(x1))=g(f(x2)) implique f(x1)=f(x2) que g est injective, il faudrait que f soit surjective (ce qui n'est pas forcément le cas : par exemple prends f=arctan g=tan (prolongée par 0 or -pi/2, pi/2), f n'est pas surjective, g n'est pas injective, g(f(x))=x pour tout réel x)

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Re: Injection, Surjection

Message par Hadrien_Xeawon » 04 janv. 2020 18:27

Et sinon dans quel cas g(f(x))=x => g injective

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Re: Injection, Surjection

Message par Hadrien_Xeawon » 04 janv. 2020 18:30

Nabuco a écrit :
04 janv. 2020 18:25
Ce n'est pas parce que g(f(x1))=g(f(x2)) implique f(x1)=f(x2) que g est injective, il faudrait que f soit surjective (ce qui n'est pas forcément le cas : par exemple prends f=arctan g=tan (prolongée par 0 or -pi/2, pi/2), f n'est pas surjective, g n'est pas injective, g(f(x))=x pour tout réel x)
Pourtant dans mon cours :
f une application de E dans F
f est injective ssi
Pour tout x1,x2 appartenant à E f(x1)=f(x2) => x1=x2
On ne parle pas de surjection

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Re: Injection, Surjection

Message par Hadrien_Xeawon » 04 janv. 2020 18:33

Je comprends pas pourquoi g(f(x1))=g(f(x2)) => f(x1)=f(x2) ne nous permet pas de dire que g est injective

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Re: Injection, Surjection

Message par Nabuco » 04 janv. 2020 18:35

Hadrien_Xeawon a écrit :
04 janv. 2020 18:30
Nabuco a écrit :
04 janv. 2020 18:25
Ce n'est pas parce que g(f(x1))=g(f(x2)) implique f(x1)=f(x2) que g est injective, il faudrait que f soit surjective (ce qui n'est pas forcément le cas : par exemple prends f=arctan g=tan (prolongée par 0 or -pi/2, pi/2), f n'est pas surjective, g n'est pas injective, g(f(x))=x pour tout réel x)
Pourtant dans mon cours :
f une application de E dans F
f est injective ssi
Pour tout x1,x2 appartenant à E f(x1)=f(x2) => x1=x2
On ne parle pas de surjection
Relis le message pour la surjectivité, tu n'as pas du tout comprendre.

Je suis d'accord sur la définition d'injectivité, mais là tu as montré que g(f(x1))=g(f(x2)) implique f(x1)=f(x2) ce qui n'est pas la même chose que la définition de l'injectivité. Si par exemple f est la fonction nulle (ce qui n'est pas possible dans ton cas) tu vois bien que tu ne prouves pas l'injectivité de g. Regarde l'exemple que j'ai donné pour f et g pour voir pourquoi ce n'est pas vrai (par exemple prends f=arctan g=tan (prolongée par 0 or -pi/2, pi/2), f n'est pas surjective, g n'est pas injective, g(f(x))=x pour tout réel x)

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Re: Injection, Surjection

Message par Hadrien_Xeawon » 04 janv. 2020 18:40

Je vois bien que c'est faux mais je comprend pas pourquoi. Je n'arrive pas à trouver ce qui fait que ma démo est fausse.
Je ne comprend pas pourquoi ce n'est pas la même chose que la définition de l'injectivité.

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Re: Injection, Surjection

Message par Nabuco » 04 janv. 2020 19:22

Hadrien_Xeawon a écrit :
04 janv. 2020 18:40
Je vois bien que c'est faux mais je comprend pas pourquoi. Je n'arrive pas à trouver ce qui fait que ma démo est fausse.
Je ne comprend pas pourquoi ce n'est pas la même chose que la définition de l'injectivité.
Imagine que f est la fonction nulle et regarde ce que ça donne. Là tu montres que g restreinte à l'image de f est injective, si f n'a pas son image valant tout l'ensemble il n'y a pas de raison que g soit injective.

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Re: Injection, Surjection

Message par Hadrien_Xeawon » 04 janv. 2020 19:28

Mais dans mon cas f n'est pas la fonction nulle

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Re: Injection, Surjection

Message par Hadrien_Xeawon » 04 janv. 2020 19:32

f : R+ -> R
x -> racine de x

g : R -> R+
x -> x²

gof(x)= x et f n'est pas bijective de R+ vers R et g n'est pas bijective de R vers R+ donc g n'est pas injective puisque g est surjective

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